東京大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $\alpha$ は ${\alpha }^3+3{\alpha }^2-1=0$ を満たすので ${\alpha }^3=-3{\alpha }^2+1$ である。また $${\alpha }^4=\alpha {\alpha }^3=\alpha (-3{\alpha }^2+1)=-3{\alpha }^3+\alpha$$ であり、再び ${\alpha }^3=-3{\alpha }^2+1$ を用いて $${\alpha }^4=9{\alpha }^2+\alpha -3$$ となる。

求める式を展開すると $$(2{\alpha }^2+5\alpha -1{)}^2=4{\alpha }^4+20{\alpha }^3+21{\alpha }^2-10\alpha +1$$ である。ここへ上の関係を代入して $4(9{\alpha }^2+\alpha -3)+20(-3{\alpha }^2+1)+21{\alpha }^2-10\alpha +1$ を整理すると $-3{\alpha }^2-6\alpha +9$ である。したがって $$(2{\alpha }^2+5\alpha -1{)}^2=-3{\alpha }^2-6\alpha +9$$ である。

(2) $t=x+1$ とおくと、もとの方程式は $(t-1{)}^3+3(t-1{)}^2-1=0$ であり、整理して $t^3-3t+1=0$ となる。$\alpha$ に対応する解を $u=\alpha +1$ とする。この3次方程式の他の2つの解を $v,w$ とすると、解と係数の関係より $$u+v+w=0,uv+uw+vw=-3,uvw=-1$$ である。

ここで $$v=u^2-2,w=-u^2-u+2$$ とおく。和は $v+w=-u$ である。また $u^3-3u+1=0$、すなわち $u^3=3u-1$ を用いると $$uv+uw+vw=-3,uvw=-1$$ も成り立つ。したがって $v,w$ は $u$ 以外の2解である。

もとの方程式の解は $x=t-1$ だから、他の2つの解は $v-1=u^2-3$ および $w-1=-u^2-u+1$ である。$u=\alpha +1$ を代入すると $$u^2-3=(\alpha +1{)}^2-3={\alpha }^2+2\alpha -2$$ であり、$$-u^2-u+1=-(\alpha +1{)}^2-(\alpha +1)+1=-{\alpha }^2-3\alpha -1$$ である。よって他の2つの解は ${\alpha }^2+2\alpha -2,-{\alpha }^2-3\alpha -1$ である。