東京大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $h(x)=x^3-3x$ とおく。微分すると $$h^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$$ である。したがって $h(x)$ は $(-\mathrm{\infty },-1)$ で増加、$(-1,1)$ で減少、$(1,\mathrm{\infty })$ で増加する。また $h(-1)=2,h(1)=-2$ である。

よって $\mathrm{\mid }p\mathrm{\mid }<2$ では3つの異なる実数解をもち、$p=\pm 2$ では重解を含む実数解をもつ。3つの実数解を、重解を含めて $$\alpha \leqq \beta \leqq \gamma$$ と書く。解と係数の関係より $$\alpha +\beta +\gamma =0,\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =-3$$ である。最大の解と最小の解の積は $\alpha \gamma$ である。$\alpha +\gamma =-\beta$ なので $$-3=\beta (\alpha +\gamma )+\alpha \gamma =-{\beta }^2+\alpha \gamma$$ となり $$f(p)=\alpha \gamma ={\beta }^2-3$$ を得る。

このとき中間の解 $\beta$ は $-1\leqq \beta \leqq 1$ を動く。したがって $-3\leqq {\beta }^2-3\leqq -2$ である。特に最小値は $\beta =0$ のとき、すなわち $p=0$ のときに ${\displaystyle -3}$ となる。

一方、$\mathrm{\mid }p\mathrm{\mid }>2$ では実数解はただ1つである。その解を $u$ とすると、$p>2$ では $u>2$、$p<-2$ では $u<-2$ である。よってこの場合 $f(p)=u^2>4$ となり、全体の最小値にはならない。以上より、求める最小値は ${\displaystyle -3}$ である。

(2)
まず $-2\leqq p\leqq 2$ の部分を描く。中間の解を $t$ とおくと $$-1\leqq t\leqq 1,p=t^3-3t,f(p)=t^2-3$$ である。$t$ が $-1$ から $1$ まで動くと、$p=t^3-3t$ は $2$ から $-2$ まで単調に減少する。したがってこの部分は $(-2,-2),(0,-3),(2,-2)$ を通る下側の曲線である。

次に $p>2$ の部分では、ただ1つの実数解 $u>2$ を用いて $$p=u^3-3u,f(p)=u^2$$ と表される。$u\to 2+$ のとき $p\to 2+,f(p)\to 4$ であり、$u\to \mathrm{\infty }$ では $p\to \mathrm{\infty }$、$f(p)\to \mathrm{\infty }$ である。

同様に $p<-2$ の部分では $u<-2$ を用いて $$p=u^3-3u,f(p)=u^2$$ で表される。$u\to -2-$ のとき $$p\to -2-,f(p)\to 4$$ であり、$u\to -\mathrm{\infty }$ では $p\to -\mathrm{\infty }$、$f(p)\to \mathrm{\infty }$ である。

また、方程式は $x$ を $-x$ に替えると $p$ の符号が反対になるので、$f(p)$ のグラフは $y$ 軸対称である。

したがってグラフは、$-2\leqq p\leqq 2$ で $(-2,-2),(0,-3),(2,-2)$ を通る下側の曲線を持ち、$p>2$、$p<-2$ では $f>4$ の上側の2枝を持つ。$p=\pm 2$ での関数値は $-2$ であるが、外側の枝は $4$ に近づくので、そこで不連続になる。