東京大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1) $$A\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right),B\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\mathrm{.}$$さらに$$A\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\mathrm{/}2\\ 1\end{array}\right),B\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\mathrm{/}2\end{array}\right),A\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\mathrm{/}2\\ 0\end{array}\right),B\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\mathrm{/}2\end{array}\right)\mathrm{.}$$したがって$$P_2=(-{\displaystyle \frac{1}{2}},1),(0,{\displaystyle \frac{1}{2}}),({\displaystyle \frac{1}{2}},0),(1,-{\displaystyle \frac{1}{2}})$$の4点である。

(2)
$s_n=x_n+y_n$ とおく。$A,B$ のどちらを選んでも、成分を加えると$$s_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{s}_n\mathrm{.}$$$s_0=2$ だから$$x_n+y_n=s_n=2^{1-n}\mathrm{.}$$(3)$$s_7={\displaystyle \frac{1}{64}}\geqq {\displaystyle \frac{1}{100}},s_8={\displaystyle \frac{1}{128}}<{\displaystyle \frac{1}{100}}\mathrm{.}$$よって $n=0,1,\dots ,7$ の8回だけ $A,B$ を自由に選べ、以後は $A$ に決まる。

時刻 $n$ に $A$ を選ぶと$$x_{n+1}=x_n-{\displaystyle \frac{s_n}{2}}=x_n-2^{-n},$$$B$ を選ぶと $x_{n+1}=x_n$ である。したがって $P_8$ の $x$ 座標は$$1-\sum _{n\in E}{2}^{-n}(E\subset \{0,1,\dots ,7\})$$と表される。有限二進表示の一意性により、256個の部分集合はすべて異なる $x$ 座標を与える。最後の2回に使う $A$ は行列式が $1\mathrm{/}2$ で、異なる点を異なる点へ移す。ゆえに$$256\text{個}$$である。

$s_n=x_n+y_n$、$d_n=x_n-y_n$ を用いる。和は毎回半減し、自由選択期間には差が符号付き二進数として変化する。異なる符号列が異なる差を与えることから個数を示す。

(1)
直接計算により$$P_2=(-{\displaystyle \frac{1}{2}},1),(0,{\displaystyle \frac{1}{2}}),({\displaystyle \frac{1}{2}},0),(1,-{\displaystyle \frac{1}{2}})\mathrm{.}$$(2)
$s_n=x_n+y_n$ とおけば、どちらの操作でも$$s_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{s}_n\mathrm{.}$$よって$$s_n=2^{1-n}\mathrm{.}$$(3)
$d_n=x_n-y_n$ とおく。$A$ を選ぶと$$d_{n+1}=d_n-{\displaystyle \frac{s_n}{2}},$$$B$ を選ぶと$$d_{n+1}=d_n+{\displaystyle \frac{s_n}{2}}\mathrm{.}$$$s_n\mathrm{/}2=2^{-n}$、$d_0=0$ だから、自由な8回の後には$$d_8=\sum _{n=0}^7{\epsilon }_n{2}^{-n},{\epsilon }_n\in \{-1,1\}\mathrm{.}$$二つの符号列が初めて異なる最大の重みを $2^{-k}$ とする。その項による差は $2^{1-k}$ であり、それより後の項による差の絶対値の総和は $2^{1-k}-2^{-6}$ 未満である。したがって相殺は起こらず、256個の符号列はすべて異なる $d_8$ を与える。

$s_8$ は共通なので $P_8$ も256個である。以後の2回の $A$ は1対1の変換だから$$P_{10}\text{ は }256\text{個}$$である。