東京大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

半径1の球を、中心を原点とする一辺2の立方体に内接させる。立方体の交互の4頂点$$(1,1,1),(1,-1,-1),(-1,1,-1),(-1,-1,1)$$は正四面体をつくる。その各辺は立方体の面の対角線なので、長さは$$2\sqrt{2}\mathrm{.}$$例えば最初の2点を結ぶ直線は $x=1,y=z$ 上にあり、原点からの距離は1である。他の5辺も対称性により半径1の球に接する。

この正四面体の高さは$$2\sqrt{2}\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}}={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{3}}}\mathrm{.}$$中心から各面までの距離は高さの $1\mathrm{/}4$ なので $1\mathrm{/}\sqrt{3}$ である。球のうち正四面体の外側にある部分は、4枚の面の外へ出る合同な球帽4個であり、その高さは$$h=1-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\mathrm{.}$$半径1、高さ $h$ の球帽の体積は、円板法により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V_{\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}}}& {\displaystyle =\pi {\int }_{1-h}^1(1-z^2)dz}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi h^2(3-h)}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって求める体積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 4V_{\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4\pi }{3}}{(1-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}})}^2(2+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{72-32\sqrt{3}}{27}}\pi \mathrm{.}}\end{array}$$

正四面体の中心から辺までの距離と面までの距離を、1辺 $a$ の式として三平方の定理から求める。前者を球の半径1に合わせ、後者を使って球帽を積分する。

1辺 $a$ の正四面体の一面の重心から頂点までの距離は $a\mathrm{/}\sqrt{3}$ であり、正四面体の高さは $a\sqrt{2\mathrm{/}3}$ である。中心は高さを $3:1$ に分けるので、中心から頂点までの距離は$${\displaystyle \frac{3}{4}}a\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}}a\mathrm{.}$$辺の中点までの距離を $\rho$ とすると、頂点・中心・辺の中点を含む直角三角形から$${\rho }^2+{\left({\displaystyle \frac{a}{2}}\right)}^2={\left({\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}}a\right)}^2\mathrm{.}$$よって$$\rho ={\displaystyle \frac{a}{2\sqrt{2}}}\mathrm{.}$$これが球の半径1に等しいから$$a=2\sqrt{2}\mathrm{.}$$中心から各面までの距離は高さの $1\mathrm{/}4$ なので$${\displaystyle \frac{1}{4}}a\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\mathrm{.}$$各面の外側にある部分は高さ $1-1\mathrm{/}\sqrt{3}$ の球帽であり、異なる面に対応する球帽の内部は重ならない。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =4\pi {\int }_{1\mathrm{/}\sqrt{3}}^1(1-z^2)dz}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{72-32\sqrt{3}}{27}}\pi \mathrm{.}}\end{array}$$