東京大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

固定される点を $P=(u,v)\mathrm{\ne }(0,0)$ とする。条件は$$(a-1)u+bv=0,cu+(d-1)v=0$$である。零でない解があるから$$\begin{array}{cccc}& (a-1)(d-1)-bc=0.& & \text{(1)}\end{array}$$まず $(c,1-a)\mathrm{\ne }(0,0)$ の場合、$$(\alpha ,\beta )=(c,1-a)$$とおく。(1)より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \alpha (a-1)+\beta c}& {\displaystyle =0,}\\ {\displaystyle \alpha b+\beta (d-1)}& {\displaystyle =cb-(a-1)(d-1)=0.}\end{array}$$したがって$$\begin{array}{cccc}& (\alpha ,\beta )A=(\alpha ,\beta )\mathrm{.}& & \text{(2)}\end{array}$$$(c,1-a)=(0,0)$ の場合は $a=1,c=0$ である。$(1-d,b)\mathrm{\ne }(0,0)$ なら、これを $(\alpha ,\beta )$ とすれば同様に (2) が成り立つ。さらに $(1-d,b)=(0,0)$ なら $A$ は単位行列なので、$(\alpha ,\beta )=(1,0)$ とすればよい。

こうして必ず、零でない $(\alpha ,\beta )$ で (2) を満たすものが取れる。直線$$l:\alpha x+\beta y=1$$は原点を通らない。$l$ 上の点の列ベクトルを $X$ とすると$$(\alpha ,\beta )(AX)=(\alpha ,\beta )X=1$$だから、$AX$ も $l$ 上にある。よって条件を満たす直線 $l$ が存在する。

固定される点 $P$ の方向を第1基底に選ぶ。新しい座標で変換を上三角形にし、係数の場合分けによって不変な一次式を直接作る。

固定される零でないベクトルを第1基底 ${\mathbf{e}}_1$ とし、これと平行でないベクトル ${\mathbf{e}}_2$ を選ぶ。この基底で$$f({\mathbf{e}}_1)={\mathbf{e}}_1,f({\mathbf{e}}_2)=u{\mathbf{e}}_1+v{\mathbf{e}}_2$$と書ける。点の座標を $(\xi ,\eta )$ とすると$$\begin{array}{cccc}& (\xi ,\eta )⟼(\xi +u\eta ,v\eta )\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$$v\mathrm{\ne }1$ のとき、直線$$(1-v)\xi +u\eta =1$$を考える。(1)による像 $({\xi }^{\mathrm{\prime }},{\eta }^{\mathrm{\prime }})$ について$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (1-v){\xi }^{\mathrm{\prime }}+u{\eta }^{\mathrm{\prime }}}& {\displaystyle =(1-v)(\xi +u\eta )+uv\eta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1-v)\xi +u\eta }\end{array}$$だから、この直線は自分自身に移る。

$v=1,u\mathrm{\ne }0$ のときは $\eta =1$ が保たれる。$v=1,u=0$ のときは変換が単位変換なので、例えば $\xi =1$ を取ればよい。

いずれの直線も右辺が1であるため原点を通らない。元の $xy$ 座標へ戻せば、求める直線 $l$ が得られる。