東京大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1)
まず $$\frac{41}{333}=0.\overline{123}$$ である。作られる小数をこの数と比べるとき、先頭の3桁を $123$ と比較する。

先頭3桁が $123$ より小さくなるのは、次の場合である。

第1桁は1でなければならない。第2桁が1なら、その時点で $12\cdots$ より小さいので成功である。この確率は $$\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$$ である。

第1桁、第2桁がそれぞれ1,2で、第3桁が1または2なら成功である。この確率は $$\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{2}{6}=\frac{1}{108}$$ である。したがって、先頭3桁で成功が確定する確率は $$\frac{1}{36}+\frac{1}{108}=\frac{1}{27}$$ である。

一方、先頭3桁がちょうど $123$ である確率は $\frac{1}{6^3}=\frac{1}{216}$ であり、この場合だけ、4桁目以降について同じ比較が残る。求める極限の確率を $p$ とすると $$p=\frac{1}{27}+\frac{1}{216}p$$ である。よって $$(1-\frac{1}{216})p=\frac{1}{27}$$ となり、$p=\frac{8}{215}$ である。

(2)
作られる小数の第1桁は1から6まで等確率である。第1桁が1,2,3である確率は $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ である。したがって、確率が $\frac{1}{2}$ となる境界は、「第1桁が1,2,3のものをすべて含み、第1桁が4のものをまだ含まない」範囲にある。

第1桁が3である小数のうち最大のものは、以後の桁をすべて6にした $$0.3666\cdots =\frac{3}{10}+\frac{6}{{10}^2}+\frac{6}{{10}^3}+\cdots$$ である。これは$$\frac{3}{10}+\frac{6}{100}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{10}}=\frac{3}{10}+\frac{1}{15}=\frac{11}{30}$$である。

また、第1桁が4である小数のうち最小のものは、以後の桁をすべて1にした $$0.4111\cdots =\frac{4}{10}+\frac{1}{{10}^2}+\frac{1}{{10}^3}+\cdots$$ である。これは$$\frac{4}{10}+\frac{1}{100}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{10}}=\frac{4}{10}+\frac{1}{90}=\frac{37}{90}$$である。

よって $$\frac{11}{30}\leqq \alpha \leqq \frac{37}{90}$$ なら、第1桁が1,2,3である場合はすべて $\alpha$ 以下であり、第1桁が5,6である場合はすべて $\alpha$ より大きい。第1桁が4で、ちょうど最小の列になるような特定の並びは、有限回までで見る確率が限りなく0になるので、極限の確率には影響しない。したがって極限は $\frac{1}{2}$ である。

逆に、$$\alpha <\frac{11}{30}$$ なら、第1桁が3であっても $\alpha$ を超える並びが正の確率で残るので、確率は $\frac{1}{2}$ より小さい。$$\alpha >\frac{37}{90}$$ なら、第1桁が4であっても $\alpha$ 以下になる並びが正の確率で加わるので、確率は $\frac{1}{2}$ より大きい。したがって求める範囲は $$\frac{11}{30}\leqq \alpha \leqq \frac{37}{90}$$ である。