東京大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
正8面体を $$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }\leqq R,R=\frac{1}{\sqrt{2}}$$ として考える。この正8面体の一つの面は、例えば $$x+y+z=R,x\geqq 0,y\geqq 0,z\geqq 0$$ 上にある。したがって、この面に平行な平面は $$x+y+z=t(-R\leqq t\leqq R)$$ と書ける。他の面に平行な場合も、座標の符号を替えれば同じ議論である。

切り口の辺は、正8面体の辺に平行な3方向、すなわち $(1,-1,0),(0,1,-1),(1,0,-1)$ に平行な方向に分かれる。$0\leqq t\leqq R$ としてよい。切り口が端に近づくと一部の辺は長さ0に退化するが、各方向について互いに平行な2本の辺の長さの和は常に正8面体の一辺の長さに等しい。実際、例えば $x-y$ 方向の2本は、平面 $x+y+z=t$ が、もとの面とそれに対向する面の間を平行に動くことで、一方が短くなる分だけ他方が長くなる。両端ではそれぞれ長さが $1$ と $0$ になり、途中ではその和が変わらない。

同じことが3方向すべてで成り立つので、切り口の周の長さは $1+1+1=3$ で一定である。

(2)
通過できることを、具体的な向きを作って示す。穴の平面内に、互いに直交する単位ベクトル $$u=\frac{1}{3}(2,-1,-2),v=\frac{1}{3}(2,2,1)$$ の方向をとる。実際 $$\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }=1,u\cdot v=0$$ である。

正8面体の6個の頂点は $(\pm R,0,0),(0,\pm R,0),(0,0,\pm R)$ である。これらを穴の平面に投影し、平面内の座標を $u$ 方向、$v$ 方向で測ると、$u$ 方向の幅は$$2R\max (\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3})=2\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{2}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$$である。同様に、$v$ 方向の幅も $$2R\max (\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3})=\frac{2\sqrt{2}}{3}$$ である。

ここで $$\frac{2\sqrt{2}}{3}<1$$ である。したがって、この向きで見た正8面体の投影は、一辺1の正方形の内部に入る。よって、その投影方向に沿って動かせば、平面にふれることなく正方形の穴を通過させることができる。