東京大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

楕円と単位円はいずれも原点を中心として対称である。楕円に内接する平行四辺形は、その対角線の中点が楕円の中心、すなわち原点になる。したがって、4頂点を $\pm P,\pm Q$ とおいてよい。

単位円がこの平行四辺形に外接する、すなわち平行四辺形が単位円に接するには、原点から4辺までの距離がすべて1でなければならない。辺 $PQ$ と辺 $P,-Q$ への距離はそれぞれ $\frac{\mathrm{\mid }{P}_x{Q}_y-P_y{Q}_x\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }P-Q\mathrm{\mid }},\frac{\mathrm{\mid }{P}_x{Q}_y-P_y{Q}_x\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }P+Q\mathrm{\mid }}$ である。これらが等しいためには $\mathrm{\mid }P-Q\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }P+Q\mathrm{\mid }$ であり、これは $P\cdot Q=0$ と同値である。

そこで $P=(x,y)$ を楕円上の任意の点とし、$Q$ を $P$ に垂直な方向に $Q=t(-y,x)$ とおく。$Q$ も楕円上にある条件は $$t^2(\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2})=1$$ である。

このとき平行四辺形の内接円の半径を $\rho$ とすると、直角条件 $P\cdot Q=0$ により $${\rho }^2=\frac{\mathrm{\mid }P{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{\mid }Q{\mathrm{\mid }}^2}{\mathrm{\mid }P{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }Q{\mathrm{\mid }}^2}$$ である。ここで $P$ が楕円上にあるので $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ である。上の $Q$ の条件と合わせて整理すると、$x,y$ によらず $${\rho }^2=\frac{a^2{b}^2}{a^2+b^2}$$ となる。

単位円に外接するためには $\rho =1$ が必要十分である。したがって求める条件は $$\frac{a^2{b}^2}{a^2+b^2}=1$$ であり、同値に $$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1$$ である。

この条件が成り立てば、任意の楕円上の点 $P$ に対して上の方法で $Q$ を取ることができ、作った平行四辺形は楕円に内接し、単位円に外接する。逆に、そのような平行四辺形が任意の $P$ で存在するなら、特に上で得た半径が1でなければならないので同じ条件が必要である。