東京大学 1990年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

正方形の中心 $(1,1)$ を原点とする座標$$X=x-1,Y=y-1$$を用いる。正方形は $\mathrm{\mid }X\mathrm{\mid }\leqq 1,\mathrm{\mid }Y\mathrm{\mid }\leqq 1$ である。

面積1を切り取る直線を各方向に動かすと、その直線と中心に関して対称な直線との間にある点だけが、その方向では面積1の直線上に乗らない。すべての方向についてこの中央の帯に入る点が求める領域である。

対称性から $X\geqq 0,Y\geqq 0$ の部分を考える。右上の頂点から上辺、右辺に沿ってそれぞれ $u,v$ だけ離れた二点を結ぶ直線が面積1の三角形を切り取るとき$$\frac{uv}{2}=1,uv=2.$$右上の頂点から測った座標を $\xi =1-X,\eta =1-Y$ とすると、この直線は$$\frac{\xi }{u}+\frac{\eta }{v}=1,v=\frac{2}{u}$$である。この直線族の境界では、左辺を $u$ で見たとき最小となるので$$-\frac{\xi }{u^2}+\frac{\eta }{2}=0.$$二式から $\xi =u\mathrm{/}2,\eta =1\mathrm{/}u$ を得て、包絡線は$$\xi \eta =\frac{1}{2}\mathrm{.}$$したがって求める範囲は$${\displaystyle (1-\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid })(1-\mathrm{\mid }y-1\mathrm{\mid })>\frac{1}{2}}$$である。等号上の点には面積1と3に分ける直線が通るため、境界は含まない。この不等式は自動的に正方形の内部の中央部分を表す。

第1象限部分では$$0\leqq X<\frac{1}{2},0\leqq Y<1-\frac{1}{2(1-X)}\mathrm{.}$$よって全体の面積は対称性から$$4{\int }_0^{1\mathrm{/}2}(1-\frac{1}{2(1-X)})dX=4(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\log 2)\mathrm{.}$$したがって求める面積は$${\displaystyle 2-2\log 2}$$である。