Evolton
方針
とおき、 の整数部分を多項式の割り算で求める。余りは となるので、与えられた と の大小を比較して、商からいくつ引けば整数部分になるかを決める。けた数は先頭項 から、1の位は を含まない最後の項だけから読む。
解答
とおく。求める数は である。
多項式の割り算より である。したがって と書ける。ただし である。
ここで与えられた値から であり、 だから である。よって整数部分は である。
けた数を調べる。 は という形なので である。したがって整数部分のけた数は である。
また、 のうち を含む項はすべて で割り切れる。したがって1の位は の1の位で決まる。 の累乗の1の位は を周期4で繰り返すので、 の1の位は である。よって の1の位は である。
以上より、整数部分のけた数は であり、1の位の数字は である。
別解。 と見れば、整数部分 の1の位は最初から だけで決まる。けた数と1の位を分けて考えると、長い商を完全に書き下す必要が少なくなる。
総評
巨大な数を直接扱わず、割り算の商と余りで処理する整数問題で、10分から12分で取りたい。ポイントは と置いて、 となる商 を作ること。 が1と2の間にあるため整数部分が になる点を明記しないと、1の位を1だけ誤る危険がある。けた数は先頭項、1の位は最後の項で見ると整理しやすい。