東大 1992年度理系（後期）数学第3問｜問題・解答・解説

東京大学 1992年度後期日程第2次学力試験理系（後期）数学第3問

多項式の列 $P_{0} (x) = 0$ ， $P_{1} (x) = 1$ ， $P_{2} (x) = 1 + x$ ， $\dots \dots$ ，
$P_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n - 1} x^{k}$ ， $\dots \dots$ を考える．

(1) 正の整数 $n$ ， $m$ に対して，
$P_{n} (x)$ を $P_{m} (x)$ で割った余りは
$P_{0} (x)$ ， $P_{1} (x)$ ， $\dots \dots$ ， $P_{m - 1} (x)$ のいずれかであることを証明せよ．

(2) 等式 $P_{l} (x) P_{m} (x^{2}) P_{n} (x^{4}) = P_{100} (x)$ が成立するような正の整数の組 $(l, m, n)$ をすべて求めよ．

難易度8/ 10計算量7/ 10目安25分

数と式、整数、数列　式変形、剰余分類、場合分け

方針

(1) は $n = q m + r$ として $x^{m} \equiv 1 (m o d P_{m} (x))$ を使う。(2)は各係数が1であることを、指数 $i + 2 j + 4 k$ の一意表示条件として低次数から調べる。

解答

(1) $n = q m + r (0 ≦ r < m)$ とする。 $P_{n} (x) = P_{m} (x) (1 + x^{m} + \dots + x^{(q - 1) m}) + x^{q m} P_{r} (x) .$ また $x^{m} - 1 = (x - 1) P_{m} (x)$ だから、 $P_{m} (x)$ を法として $x^{q m}$ の余りは1である。従って余りは $P_{r} (x)$ であり、 $r = 0, 1, \dots, m - 1$ のいずれかである。

(2) 左辺の各項は $x^{i + 2 j + 4 k} (0 ≦ i < l, 0 ≦ j < m, 0 ≦ k < n)$ である。右辺では次数0から99までの係数がすべて1なので、この表示が各整数0から99に対してちょうど1通りでなければならない。また $x = 1$ を代入して $\begin{matrix} l m n = 100. & (1) \end{matrix}$ 次数1を作るため $l ≧ 2$ である。次数2の表示が一意であることから、「 $l ≧ 3$ 」と「 $m ≧ 2$ 」のちょうど一方が成り立つ。

まず $m ≧ 2$ なら $l = 2$ である。このとき $P_{2} (x) P_{m} (x^{2}) = P_{2 m} (x)$ 。 $n = 1$ なら (1) より $m = 50$ 。 $n ≧ 2$ なら重複も欠落もなく重み4へつなぐため $2 m = 4$ 、従って $m = 2, n = 25$ である。

次に $m = 1$ なら、次数0,1,2,3を作るため $l ≧ 4$ 。 $n = 1$ なら $l = 100$ 。 $n ≧ 2$ なら重み4へつなぐため $l = 4$ 、従って $n = 25$ である。

以上より $(l, m, n) = (100, 1, 1), (2, 50, 1), (4, 1, 25), (2, 2, 25) .$ 各組は $P_{a} (x) P_{b} (x^{a}) = P_{a b} (x)$ を順に使えば実際に等式を満たす。

総評

多項式の係数を混合位取りの一意表示として解釈する難問で目安は25分。 $l m n = 100$ だけでは不十分で、次数1・2・4の係数から重なりと欠落を排除する必要がある。

出典: 東京大学 1992年度後期理科数学。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

東京大学 1992年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

方針

解答

総評

東京大学 1992年度後期日程第2次学力試験理系（後期）数学第3問