東京大学 1993年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $k=0,1,\dots ,n-1$ とする。正 $n$ 角形を自身へ移す変換は、$2\pi k\mathrm{/}n$ の回転$$R_k=\left(\begin{array}{cc}\cos {\displaystyle \frac{2k\pi }{n}}& -\sin {\displaystyle \frac{2k\pi }{n}}\\ \sin {\displaystyle \frac{2k\pi }{n}}& \cos {\displaystyle \frac{2k\pi }{n}}\end{array}\right)$$と、原点を通り偏角 $k\pi \mathrm{/}n$ の直線に関する鏡映$$S_k=\left(\begin{array}{cc}\cos {\displaystyle \frac{2k\pi }{n}}& \sin {\displaystyle \frac{2k\pi }{n}}\\ \sin {\displaystyle \frac{2k\pi }{n}}& -\cos {\displaystyle \frac{2k\pi }{n}}\end{array}\right)$$の合計 $2n$ 個である。実際、頂点 $(1,0)$ の像を選んだ後、隣の頂点を時計回り・反時計回りのどちらへ移すかでこの2種類に限られる。

(2) $n\geqq 3$ では$$\sum _{k=0}^{n-1}\cos {\displaystyle \frac{2k\pi }{n}}=0,\sum _{k=0}^{n-1}\sin {\displaystyle \frac{2k\pi }{n}}=0.$$従って $R_k$ 全体の和も $S_k$ 全体の和も零行列である。求める総和は$$\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$$

正多角形を保つ変換が基底ベクトル ${\mathit{e}}_1,{\mathit{e}}_2$
をどこへ送るかで分類する。${\mathit{e}}_1$ の像を1頂点に固定すると、
隣接頂点の順序を保つか反転するかの2択しかない。総和は各基底の像を
幾何的に対消滅させて求める。

(1)

${\theta }_k=2k\pi \mathrm{/}n$ とする。頂点 $(1,0)$ の像は
$(\cos {\theta }_k,\sin {\theta }_k)$ のいずれかである。像を1つ固定すると、
隣の頂点を反時計回り側へ送る場合と時計回り側へ送る場合の2通りしかない。
それぞれ$$R_k=\left(\begin{array}{cc}\cos {\theta }_k& -\sin {\theta }_k\\ \sin {\theta }_k& \cos {\theta }_k\end{array}\right),S_k=\left(\begin{array}{cc}\cos {\theta }_k& \sin {\theta }_k\\ \sin {\theta }_k& -\cos {\theta }_k\end{array}\right)$$である。$k=0,1,\dots ,n-1$ として、これら $2n$ 個がすべてである。

(2)

全行列の和を $T$ とする。各 $k$ について$$R_k{\mathit{e}}_1=S_k{\mathit{e}}_1=(\cos {\theta }_k,\sin {\theta }_k)$$である。正 $n$ 角形の中心は頂点の重心なので、全頂点ベクトルの和は
零ベクトルである。したがって $$T{\mathit{e}}_1=\mathbf{0}$$ である。

また$$R_k{\mathit{e}}_2=(-\sin {\theta }_k,\cos {\theta }_k),S_k{\mathit{e}}_2=(\sin {\theta }_k,-\cos {\theta }_k)$$は互いに反対向きだから、各 $k$ ごとに打ち消し合う。よって$$T{\mathit{e}}_2=\mathbf{0}$$ でもある。2本の基底の像がともに0なので$$T=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$$図は $n=5$ の模式図である。