東京大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

$$u=\sqrt{x}$$，$$v=\sqrt{y}$$ とおくと $u>0$，$v>0$ であり、与えられた不等式は$$u+v\leqq k\sqrt{2u^2+v^2}$$となる。ここで$$3(2u^2+v^2)-2(u+v{)}^2=(2u-v{)}^2\geqq 0$$であるから、$$(u+v{)}^2\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}(2u^2+v^2)$$を得る。両辺は正なので平方根をとれば$$u+v\leqq \sqrt{{\displaystyle \frac{3}{2}}}\sqrt{2u^2+v^2}$$である。したがって $$k=\sqrt{3\mathrm{/}2}$$ なら、すべての正の $x,y$ に対して不等式が成り立つ。

等号は $2u-v=0$、すなわち $v=2u$ のときに成り立つ。実際、$u=1$，$v=2$ とすれば
$x=1$，$y=4$ はともに正であり、等号が実現する。よってこれより小さい $k$ は条件を満たさない。
以上より最小値は$$\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{2}}}$$である。

比は同次式なので $t=v\mathrm{/}u$ の1変数に落とす。比の2乗を微分し、内部の最大点と等号条件を同時に求める。

$$u=\sqrt{x}$$，$$v=\sqrt{y}$$ とおき、さらに$$t={\displaystyle \frac{v}{u}}>0$$とする。同次性により$${\left({\displaystyle \frac{u+v}{\sqrt{2u^2+v^2}}}\right)}^2={\displaystyle \frac{(1+t{)}^2}{2+t^2}}$$である。右辺を $F(t)$ とおくと$$F^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{2(1+t)(2-t)}{(2+t^2{)}^2}}$$となる。したがって $F$ は $0<t<2$ で増加し、$t>2$ で減少するので、
$t=2$ のとき最大になる。その値は$$F(2)={\displaystyle \frac{9}{6}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$$である。$t=2$ は $v=2u$ を意味し、正の $u,v$ で実現できる。
よって求める最小の定数は$$k=\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{2}}}$$である。