東京大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)

平方完成を行うと$$f(x)={(x^2+{\displaystyle \frac{x}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}{(x+{\displaystyle \frac{1}{3}})}^2+{\displaystyle \frac{1}{72}}$$である。実際，右辺を展開すると$$x^4+x^3+{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{6}}x+{\displaystyle \frac{1}{36}}+{\displaystyle \frac{1}{72}}=x^4+x^3+{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{6}}x+{\displaystyle \frac{1}{24}}$$となり，$f(x)$と一致する。

右辺の2つの平方は$0$以上であり，最後に$1\mathrm{/}72$が加わっている。したがって任意の実数$x$に対して $f(x)>0$ である。

(2) $g$を微分すると $$g^{\mathrm{\prime }}(x)=5x^4+4x^3+{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{3}}x+{\displaystyle \frac{1}{24}}$$ である。これも平方完成により$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=5{(x^2+{\displaystyle \frac{2}{5}}x)}^2+{\displaystyle \frac{7}{10}}{(x+{\displaystyle \frac{5}{21}})}^2+{\displaystyle \frac{1}{504}}$$と書ける。展開して確認すると，$x^2$の係数は$4\mathrm{/}5+7\mathrm{/}10=3\mathrm{/}2$，$x$の係数は$7\mathrm{/}10\cdot 10\mathrm{/}21=1\mathrm{/}3$，定数項は$5\mathrm{/}126+1\mathrm{/}504=1\mathrm{/}24$である。

したがって任意の実数$x$に対して $g^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ であり，$g(x)$は実数全体で単調に増加する。

端点の値を調べると $$g(-1)=-1+1-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}-{\displaystyle \frac{1}{24}}+{\displaystyle \frac{1}{120}}=-{\displaystyle \frac{11}{30}}<0$$ であり，また $g(0)={\displaystyle \frac{1}{120}}>0$ である。よって連続性により，$-1<x<0$に$g(x)=0$を満たす実数解が少なくとも一つ存在する。

さらに$g(x)$は単調に増加するので，実数解は二つ以上存在できない。したがって方程式$g(x)=0$はただ一つの実数解$\alpha$をもち，その解は $-1<\alpha <0$ を満たす。

正の側と負の側を分け、負の側では $t=-x$ として正定値な2次式に分解する。導関数にも同じ方法を使い、平方完成とは別の符号判定で単調性を得る。

(1)
$x\geqq 0$ では $f(x)$ の各項が正なので明らかである。$x<0$ では
$t=-x>0$ とおくと$$f(-t)=t^2{(t-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{6t^2-4t+1}{24}}\mathrm{.}$$第2項の分子は、判別式が$$(-4{)}^2-4\cdot 6\cdot 1=-8<0$$で最高次係数が正だから常に正である。ゆえに $f(x)>0$ はすべての実数で
成り立つ。

(2)
$x\geqq 0$ では $g^{\mathrm{\prime }}(x)$ の各項が正である。$x=-t<0$ では$$g^{\mathrm{\prime }}(-t)=t^2(5t^2-4t+{\displaystyle \frac{4}{5}})+({\displaystyle \frac{7}{10}}{t}^2-{\displaystyle \frac{1}{3}}t+{\displaystyle \frac{1}{24}})\mathrm{.}$$第1の括弧は $5(t-2\mathrm{/}5{)}^2$ である。第2の括弧も、判別式が$${\displaystyle \frac{1}{9}}-4\cdot {\displaystyle \frac{7}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{24}}=-{\displaystyle \frac{1}{180}}<0$$で最高次係数が正だから常に正である。したがって $g^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ は実数全体で
成り立ち、$g$ は狭義単調増加である。

さらに$$g(-1)=-{\displaystyle \frac{11}{30}}<0,g(0)={\displaystyle \frac{1}{120}}>0.$$中間値の定理から $(-1,0)$ に零点が存在し、狭義単調増加性からそれは
ただ1つである。