東京大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)
曲線 $y=\log x$ と $x$ 軸の交点は $C=(1,0)$ である。したがって $$S_1={\int }_1^a\log xdx={[x\log x-x]}_1^a=a\log a-a+1$$ である。

次に四辺形 $ABCD$ の面積を求める。$C(1,0)$ から $D(b,\log b)$，$B(a,\log a)$，$A(a,0)$ と進むので，面積は2つの台形の和として $$S_2(b)=\frac{1}{2}(b-1)\log b+\frac{1}{2}(a-b)(\log a+\log b)$$ である。整理すると $$S_2(b)=\frac{1}{2}\{(a-b)\log a+(a-1)\log b\}$$ である。 $y=\log x$ は上に凸の曲線であるから，曲線上の2点を結ぶ線分は曲線の下側にある。したがって $S_2(b)\leqq S_1$ であり，$S_1$ に最も近い $S_2(b)$ は，$S_2(b)$ が最大となるときに得られる。

微分すると $$S_2^{\mathrm{\prime }}(b)=\frac{1}{2}(-\log a+\frac{a-1}{b})$$ である。したがって臨界点は $$b=\frac{a-1}{\log a}$$ である。また $a>1$ について $$\frac{a-1}{a}\leqq \log a\leqq a-1$$ が成り立つので $$1\leqq \frac{a-1}{\log a}\leqq a$$ であり，この値は許された範囲に入る。さらに $S_2^{\mathrm{\prime }}(b)$ はこの点の前で正，後で負となるので，ここで最大である。

よって求める $b$ は $${\displaystyle b=\frac{a-1}{\log a}}$$ であり，そのとき$${\displaystyle S_2=\frac{1}{2}\{a\log a-(a-1)+(a-1)\log \frac{a-1}{\log a}\}}$$である。

(2)
上で求めた式から$$\frac{S_2}{S_1}=\frac{\frac{1}{2}\{a\log a-(a-1)+(a-1)\log \frac{a-1}{\log a}\}}{a\log a-a+1}$$である。分母は $a\log a$ と同じ大きさで増大する。

分子の中で $$(a-1)\log \frac{a-1}{\log a}=(a-1)\{\log (a-1)-\log (\log a)\}$$ である。これを $a\log a$ で割ると$$\frac{a-1}{a}\cdot \frac{\log (a-1)}{\log a}-\frac{a-1}{a}\cdot \frac{\log (\log a)}{\log a}\to 1-0=1$$である。また $(a-1)\mathrm{/}(a\log a)\to 0$ である。したがって分子全体は $a\log a$ と同じ大きさになり，$${\displaystyle \underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{S_2}{S_1}=1}$$ である。