東京大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

まず $n$ が偶数の場合を考える。このとき $x^n+q$ は偶関数，$px$ は奇関数である。したがって積の項の積分は0になり，$$I={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_{-1}^1(x^n+q{)}^{2}dx+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_{-1}^1{p}^2{x}^{2}dx$$である。各項を計算すると$${\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_{-1}^1{x}^{2n}dx={\displaystyle \frac{1}{2n+1}},$$$${\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_{-1}^{1}2q{x}^{n}dx={\displaystyle \frac{2q}{n+1}},$$$${\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_{-1}^1{q}^{2}dx=q^2,{\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_{-1}^1{p}^2{x}^{2}dx={\displaystyle \frac{p^2}{3}}$$である。よって $$I={\displaystyle \frac{p^2}{3}}+q^2+{\displaystyle \frac{2q}{n+1}}+{\displaystyle \frac{1}{2n+1}}$$ となる。平方完成して$$I={\displaystyle \frac{p^2}{3}}+{(q+{\displaystyle \frac{1}{n+1}})}^2+{\displaystyle \frac{1}{2n+1}}-{\displaystyle \frac{1}{(n+1{)}^2}}$$である。したがって最小にする組はただ一つ $$p=0,q=-{\displaystyle \frac{1}{n+1}}$$ であり，最小値は ${\displaystyle \frac{1}{2n+1}}-{\displaystyle \frac{1}{(n+1{)}^2}}$ である。

次に $n$ が奇数の場合を考える。このとき $x^n+px$ は奇関数，$q$ は偶関数であるから，交差する項は消えて$$I={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_{-1}^1(x^n+px{)}^{2}dx+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_{-1}^1{q}^{2}dx$$である。計算すると $$I={\displaystyle \frac{1}{2n+1}}+{\displaystyle \frac{2p}{n+2}}+{\displaystyle \frac{p^2}{3}}+q^2$$ である。これを平方完成すると$$I={\displaystyle \frac{1}{3}}{(p+{\displaystyle \frac{3}{n+2}})}^2+q^2+{\displaystyle \frac{1}{2n+1}}-{\displaystyle \frac{3}{(n+2{)}^2}}$$となる。したがって最小にする組はただ一つ $$p=-{\displaystyle \frac{3}{n+2}},q=0$$ であり，最小値は ${\displaystyle \frac{1}{2n+1}}-{\displaystyle \frac{3}{(n+2{)}^2}}$ である。

$p,q$ を未知数とする2次式を展開する代わりに、最小点では
定数方向と $x$ 方向への一次変化が0になることを使う。2本の
積分条件から候補を求め、最後に差の二乗積分が正であることから
最小性と一意性を保証する。

$F(x)=x^n+px+q$ とする。$p$ を $p+h$ に変えたときの
$I$ の一次の変化が0であること、$q$ を $q+h$ に変えた
ときの一次の変化が0であることから、最小点は$${\int }_{-1}^{1}F(x)xdx=0,{\int }_{-1}^{1}F(x)dx=0$$を満たす。

$n$ が偶数なら、奇関数の積分が0になることにより$${\displaystyle \frac{2p}{3}}=0,{\displaystyle \frac{2}{n+1}}+2q=0.$$したがって$$p=0,q=-{\displaystyle \frac{1}{n+1}}\mathrm{.}$$このとき$$I_{\min }={\displaystyle \frac{1}{2n+1}}-{\displaystyle \frac{1}{(n+1{)}^2}}\mathrm{.}$$$n$ が奇数なら$${\displaystyle \frac{2}{n+2}}+{\displaystyle \frac{2p}{3}}=0,2q=0,$$したがって$$p=-{\displaystyle \frac{3}{n+2}},q=0,$$かつ$$I_{\min }={\displaystyle \frac{1}{2n+1}}-{\displaystyle \frac{3}{(n+2{)}^2}}\mathrm{.}$$一意性を確認する。上で得た最小候補を $(p_0,q_0)$ とし、
$F_0(x)=x^n+p_{0}x+q_0$ と置く。積分条件から$${\int }_{-1}^1{F}_0(x)\{(p-p_0)x+(q-q_0)\}dx=0.$$よって任意の $(p,q)$ に対して$$I-I_{\min }={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_{-1}^1\{(p-p_0)x+(q-q_0){\}}^{2}dx\geqq 0.$$等号が成り立つには一次式が恒等的に0でなければならず、
$p=p_0,q=q_0$ である。したがって最小の組は唯一である。

$n$ の偶奇により、実際に働く方向が一方だけになる。