東京大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

二次式を $q(x)=x^2-(a+d)x+(ad-bc)$ とおく。

仮定より $s>0$，$t>0$ であるから，$\lambda =t\mathrm{/}s$ とおくと $\lambda >0$ であり，二つの不等式は $$1-a-\lambda b>0,1-d-{\displaystyle \frac{c}{\lambda }}>0$$ となる。特に $$1-a>\lambda b>0,1-d>{\displaystyle \frac{c}{\lambda }}>0$$ であるから $0<a<1,0<d<1$ である。また二つの不等式を掛け合わせると $$(1-a)(1-d)>\lambda b\cdot {\displaystyle \frac{c}{\lambda }}=bc$$ を得る。

ここで $$q(1)=1-a-d+ad-bc=(1-a)(1-d)-bc>0$$ である。さらに $$q(-1)=1+a+d+ad-bc=(1+a)(1+d)-bc$$ であり，$$(1+a)(1+d)-(1-a)(1-d)=2a+2d>0$$ だから $$(1+a)(1+d)>(1-a)(1-d)>bc$$ となり，$q(-1)>0$ である。

一方，$0<a<1$ を用いて $x=a$ を代入すると $$q(a)=a^2-a(a+d)+ad-bc=-bc<0$$ である。したがって $q(x)$ は区間 $(-1,a)$ で正から負へ，区間 $(a,1)$ で負から正へ符号を変える。二次式は連続であるから，方程式 $q(x)=0$ は $(-1,a)$ に少なくとも一つ，$(a,1)$ に少なくとも一つの実数解をもつ。

これら二つの区間は交わらないので，得られた二つの解は異なる。また二次方程式の実数解は高々二つである。よって与えられた二次方程式は $-1<x<1$ の範囲に異なる二つの実数解をもつ。

仮定から$0<a,d<1$と$bc<(1-a)(1-d)$を得るところまでは同じである。その後は二次式の判別式と軸に注目する。判別式が正であること，軸が$(0,1)$内にあること，さらに両端$x=-1,1$で正で軸上では負であることを示し，2根を区間内に挟む。

二次式を$$q(x)=x^2-(a+d)x+ad-bc$$とおく。正の数$$\lambda ={\displaystyle \frac{t}{s}}$$を用いると，仮定は$$1-a>\lambda b>0,1-d>{\displaystyle \frac{c}{\lambda }}>0$$と書ける。したがって$$0<a<1,0<d<1,$$さらに2式を掛けて$$bc<(1-a)(1-d)$$を得る。

$q(x)=0$の判別式は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\Delta }}& {\displaystyle =(a+d{)}^2-4(ad-bc)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(a-d{)}^2+4bc>0}\end{array}$$だから，異なる2つの実数解をもつ。放物線の軸は$$x={\displaystyle \frac{a+d}{2}}$$であり，$0<a,d<1$から$$0<{\displaystyle \frac{a+d}{2}}<1$$である。また，軸における値は$$q\left({\displaystyle \frac{a+d}{2}}\right)=-{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }}{4}}<0.$$一方，$$q(1)=(1-a)(1-d)-bc>0$$である。さらに$$(1+a)(1+d)>(1-a)(1-d)>bc$$より$$q(-1)=(1+a)(1+d)-bc>0.$$したがって，軸より左側で$x=-1$から軸までに1根，軸より右側で軸から$x=1$までに1根がある。よって異なる2根はいずれも$$-1<x<1$$に含まれる。