東京大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

長方形の辺の長さは $1$ と $a$ である。5つの中心は4頂点と対角線の交点 $E$ であるから、内部が重ならないためには、どの2中心の距離も $2r$ 以上でなければならない。

中心間距離のうち最小値に関係するものは、隣り合う頂点間の距離 $1,a$ および、$E$ と各頂点の距離 $\frac{\sqrt{1+a^2}}{2}$ である。したがって、最大の半径は $$r=\frac{1}{2}\min (1,a,\frac{\sqrt{1+a^2}}{2})$$ である。

このとき $r\leqq 1\mathrm{/}2$、$r\leqq a\mathrm{/}2$ なので、頂点を中心とする円が長方形内に切り取る部分はそれぞれ四分円である。4つ合わせると半径 $r$ の円1個分になる。また中心 $E$ の円は長方形の内部に入る。よって $$S(a)=\pi r^2+\pi r^2=2\pi r^2$$ である。

あとは $1,a,\frac{\sqrt{1+a^2}}{2}$ の最小値を場合分けする。まず $$a\leqq \frac{\sqrt{1+a^2}}{2}$$ は $4a^2\leqq 1+a^2$ すなわち $a\leqq \frac{1}{\sqrt{3}}$ と同値である。また $\frac{\sqrt{1+a^2}}{2}\leqq 1$ は $a\leqq \sqrt{3}$ と同値である。したがって$$\min (1,a,\frac{\sqrt{1+a^2}}{2})=\{\begin{array}{ll}a& (0<a\leqq {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}),\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{1+a^2}}{2}}& ({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\leqq a\leqq \sqrt{3}),\\ 1& (\sqrt{3}\leqq a)\end{array}$$である。

よって$$\frac{S(a)}{a}=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{\pi a}{2}}& (0<a\leqq {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}),\\ {\displaystyle \frac{\pi }{8}}(a+{\displaystyle \frac{1}{a}})& ({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\leqq a\leqq \sqrt{3}),\\ {\displaystyle \frac{\pi }{2a}}& (\sqrt{3}\leqq a)\end{array}$$である。

グラフの概形を整理する。区間 $0<a\leqq 1\mathrm{/}\sqrt{3}$ では原点に近づく直線 $$y=\frac{\pi a}{2}$$ で増加する。区間 $$1\mathrm{/}\sqrt{3}\leqq a\leqq \sqrt{3}$$ では $$y=\frac{\pi }{8}(a+\frac{1}{a})$$ であり、$a=1$ で最小値 $\frac{\pi }{4}$ をとる。両端 $$a=\frac{1}{\sqrt{3}},a=\sqrt{3}$$ での値はいずれも $\frac{\pi }{2\sqrt{3}}$ である。$a\geqq \sqrt{3}$ では $$y=\frac{\pi }{2a}$$ となり、$a$ が大きくなるにつれて $0$ に近づく。

したがって、グラフは $a=1\mathrm{/}\sqrt{3}$、$a=\sqrt{3}$ で滑らかにはつながらない折れ目を持ち、中央区間では $a=1$ を底とする曲線になる。