東京大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

曲線 $z=y^2$ 上の点を $Q=(0,t,t^2)$ とおく。直線 $PQ$ 上の点は、実数 $s$ を用いて $(2,0,1)+s(-2,t,t^2-1)$ と表される。この点が $xy$ 平面上にあるための条件は $1+s(t^2-1)=0$ である。

ここで $t=\pm 1$ のときは $Q$ も $P$ も $z=1$ 上にあるので、直線 $PQ$ は $xy$ 平面と交わらない。したがって $t^2\mathrm{\ne }1$ としてよい。このとき $$s=\frac{1}{1-t^2}$$ である。

交点を $R=(X,Y,0)$ とすると $$X=2-\frac{2}{1-t^2}=\frac{2t^2}{t^2-1},Y=\frac{t}{1-t^2}$$ である。これより $$X-2=\frac{2}{t^2-1},X(X-2)=\frac{4t^2}{(t^2-1{)}^2}=4Y^2$$ となる。したがって $4Y^2=X(X-2)$ すなわち $(X-1{)}^2-4Y^2=1$ である。

次に、双曲線のどの部分が現れるかを調べる。$0\leqq t^2<1$ では $$X=\frac{2t^2}{t^2-1}\leqq 0$$ であり、$t=0$ のとき $(X,Y)=(0,0)$ を与える。一方、$t^2>1$ では $$X=\frac{2t^2}{t^2-1}>2$$ であり、$X=2$ には有限の $t$ では到達しない。

逆に、双曲線 $4Y^2=X(X-2)$ 上で $X\leqq 0$ または $X>2$ を満たす点については $$t^2=\frac{X}{X-2}$$ がそれぞれ $0\leqq t^2<1$ または $t^2>1$ を満たし、$Y$ の符号に合わせて $t$ を選べば上の表示から得られる。

よって $F$ は双曲線 $${\displaystyle (X-1{)}^2-4Y^2=1}$$ のうち $${\displaystyle X\leqq 0\text{ の枝全体と、 }X>2\text{ の枝}}$$ である。図では中心 $(1,0)$、左右に開く双曲線を描き、左枝は $(0,0)$ を含み、右枝は $(2,0)$ を白丸で除く。