東京大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)
底面正方形の中心を $O$、正四角錐の頂点を $T$ とする。球の中心は底面上にあり、正四角錐全体の対称性から $O$ に一致する。底面の4辺にも接するので、球の半径を $R$ とすると $$R=\frac{a}{2}$$ である。

底面を $z=0$ に置き、$$O=(0,0,0),T=(0,0,h),A=(\frac{a}{2},\frac{a}{2},0)$$ とする。ここで $A$ は底面の1頂点であり、側辺 $TA$ は球に接する。したがって、点 $O$ から直線 $TA$ までの距離が $a\mathrm{/}2$ である。

直線 $TA$ の方向ベクトルは $(\frac{a}{2},\frac{a}{2},-h)$ である。点 $O$ から直線 $TA$ までの距離は、三角形 $OTA$ の面積を用いて$$\frac{\mathrm{\mid }\overrightarrow{OT}\times \overrightarrow{OA}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{TA}\mathrm{\mid }}=\frac{ha\mathrm{/}\sqrt{2}}{\sqrt{h^2+a^2\mathrm{/}2}}$$である。よって $$\frac{ha\mathrm{/}\sqrt{2}}{\sqrt{h^2+a^2\mathrm{/}2}}=\frac{a}{2}$$ である。両辺を2乗して整理すると $$\frac{h^2{a}^2}{2}=\frac{a^2}{4}(h^2+\frac{a^2}{2})$$ であり、$a>0$ より $$\frac{h^2}{2}=\frac{h^2}{4}+\frac{a^2}{8}$$ となる。したがって $$h^2=\frac{a^2}{2}$$ であるから、求める高さは ${\displaystyle \frac{a}{\sqrt{2}}}$ である。

(2)
以後 $R=a\mathrm{/}2$ とおく。(1)より頂点の高さは $R\sqrt{2}$ である。側面の1つ、たとえば $x=R$ 側の底辺を含む側面は $$x+\frac{z}{\sqrt{2}}=R$$ と表される。実際、この平面は底辺上の点 $(R,y,0)$ と頂点 $(0,0,R\sqrt{2})$ を通る。

中心 $O$ からこの側面までの距離を $d$ とすると $$d=\frac{R}{\sqrt{1+1\mathrm{/}2}}=R\sqrt{\frac{2}{3}}$$ である。球と錐の共通部分は、上半球から、4つの側面の外側へ出る合同な球冠を取り除いた部分である。側辺が球に接しているので、隣り合う球冠は接するだけで内部は重ならない。

半径 $R$ の球を、中心から距離 $d$ の平面で切る。外側に切り落とされる球冠の高さは $$H=R-d=R(1-\sqrt{\frac{2}{3}})$$ である。球冠体積は、切断平面から頂点方向へ距離 $u$ を測ると断面半径の2乗が $H^2-u^2+2u(R-H)$ となるので $${\int }_0^H\pi \{R^2-(R-H+u{)}^2\}du=\frac{\pi H^2(3R-H)}{3}$$ である。

したがって求める体積 $V$ は $$V=\frac{2\pi R^3}{3}-4\cdot \frac{\pi H^2(3R-H)}{3}$$ である。ここで $$s=\sqrt{\frac{2}{3}}$$ とおくと、$H=R(1-s)$ であり $$H^2(3R-H)=R^3(1-s{)}^2(2+s)$$ である。さらに $$(1-s{)}^2(2+s)=2-3s+s^3=2-3s+\frac{2}{3}s=2-\frac{7}{3}s$$ だから$$V=\frac{2\pi R^3}{3}-\frac{4\pi R^3}{3}(2-\frac{7}{3}s)=\frac{\pi R^3}{9}(28s-18)$$である。$R=a\mathrm{/}2$、$s=\sqrt{6}\mathrm{/}3$ を代入して$$V=\frac{\pi a^3}{72}(\frac{28\sqrt{6}}{3}-18)={\displaystyle \frac{\pi a^3(14\sqrt{6}-27)}{108}}$$を得る。