東京大学 1991年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

$C_i$ の中心、半径を $O_i,r_i$ とする。2円が直交する条件は$$O_i{O}_3^2=r_i^2+r_3^2$$である。

(1) $i=1,2$ の式を引くと$$O_1{O}_3^2-r_1^2=O_2{O}_3^2-r_2^2\mathrm{.}$$両辺は点 $O_3$ の $C_1,C_2$ に対する方べきであり、これらが等しい点の軌跡は共通弦 $AB$ を含む直線である。従って $O_3$ は直線 $AB$ 上にある。

(2) $AB$ の中点を原点とし$$A=(-c,0),B=(c,0)(c>0)$$と置く。$C_1,C_2$ の中心は $AB$ の垂直二等分線上にあるから $O_i=(0,u_i)$、半径は$$r_i^2=c^2+u_i^2\mathrm{.}$$(1)
より $O_3=(s,0)$ と置ける。直交条件から$$s^2+u_i^2=r_3^2+c^2+u_i^2,$$従って$$r_3^2=s^2-c^2>0.$$点A,Bの $C_3$ に対する方べきはそれぞれ$$(s+c{)}^2-r_3^2=2c(s+c),$$$$(s-c{)}^2-r_3^2=2c(c-s)\mathrm{.}$$$\mathrm{\mid }s\mathrm{\mid }>c$ なので2つの符号は反対である。よって一方は $C_3$ の内側、他方は外側にある。