東京大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
点 $(x,y)$ を複素数 $z=x+yi$ と見る。行列 $M$ による変換は $$z\mapsto \lambda z,\lambda =\frac{1+ai}{1+a^2}$$ で表される。したがって $$P_0=1,P_1=\lambda ,P_2={\lambda }^2$$ である。

三角形 $P_0{P}_1{P}_2$ の面積は$$\frac{1}{2}\mid \mathrm{Im}\{(\lambda -1)\overline{({\lambda }^2-1)}\}\mid$$で求められる。これを計算すると $$[\mathrm{△}{P}_0{P}_1{P}_2]=\frac{a^3}{2(1+a^2{)}^2}$$ である。

よって $$F(a)=\frac{a^3}{2(1+a^2{)}^2}(a>0)$$ の最大を求めればよい。微分すると $$F^{\mathrm{\prime }}(a)=\frac{a^2(3-a^2)}{2(1+a^2{)}^3}$$ である。したがって $0<a<\sqrt{3}$ で増加し、$a>\sqrt{3}$ で減少するので、最大となるのは $a=\sqrt{3}$ である。

(2) $a=\sqrt{3}$ のとき$$\lambda =\frac{1+\sqrt{3}i}{4}=\frac{1}{2}(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3})$$である。つまり、各点は前の点を原点のまわりに60度回転し、さらに長さを $\frac{1}{2}$ 倍した位置にある。

したがって三角形 $\mathrm{△}{P}_n{P}_{n+1}{P}_{n+2}$ は、$\mathrm{△}{P}_0{P}_1{P}_2$ を相似比 $(\frac{1}{2}{)}^n$ で縮小し、回転したものである。面積比はその2乗なので、各三角形の面積は$$[\mathrm{△}{P}_n{P}_{n+1}{P}_{n+2}]=[\mathrm{△}{P}_0{P}_1{P}_2]{\left(\frac{1}{4}\right)}^n$$である。隣り合う三角形は辺を共有するだけで内部は重ならず、全体は原点へ向かって巻くように並ぶ。

(1) での最大面積は $$[\mathrm{△}{P}_0{P}_1{P}_2]=\frac{(\sqrt{3}{)}^3}{2(1+3{)}^2}=\frac{3\sqrt{3}}{32}$$ である。よって$$S_n=\frac{3\sqrt{3}}{32}(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\cdots +\frac{1}{4^n})$$である。したがって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=\frac{3\sqrt{3}}{32}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{8}$$である。