東京大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

最初に平面と接していた面を $A$ とする。$n$ 回の操作の後に面 $A$ が平面と接している確率を $p_n$ とおく。

正四面体には4つの面がある。現在ある面が平面と接しているとき、その面の3辺のうち1つを軸に倒すと、次に接する面は現在の面に隣り合う3面のうち1つである。したがって、現在 $A$ が接しているなら、次の操作後には $A$ は接していない。一方、現在 $A$ 以外の面が接しているなら、次に $A$ が接する確率は $1\mathrm{/}3$ である。

よって $$p_{n+1}=0\cdot p_n+\frac{1}{3}(1-p_n)=\frac{1-p_n}{3}$$ である。この漸化式を定数解 $p=1\mathrm{/}4$ からのずれで書くと $$p_{n+1}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{3}(p_n-\frac{1}{4})$$ となる。

初めは面 $A$ が接しているので $p_0=1$ である。したがって$$p_n-\frac{1}{4}={(-\frac{1}{3})}^n(1-\frac{1}{4})=\frac{3}{4}{(-\frac{1}{3})}^n$$である。

よって求める確率は $${\displaystyle p_n=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}{(-\frac{1}{3})}^n}$$ である。