東京大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) $s=a+b,p=ab$ とおく。すると $$a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab=s^2-2p$$ であるから $s^2-2p=16$ を得る。したがって $$p={\displaystyle \frac{s^2-16}{2}}$$ である。

また $$a^3+b^3=(a+b{)}^3-3ab(a+b)=s^3-3ps$$ である。条件$a^3+b^3=44$に$$p={\displaystyle \frac{s^2-16}{2}}$$を代入すると $$s^3-3s\cdot {\displaystyle \frac{s^2-16}{2}}=44$$ となる。両辺を2倍して整理すると $2s^3-3s^3+48s=88$ すなわち $s^3-48s+88=0$ である。これは $(s-2)(s^2+2s-44)=0$ と因数分解できるので、候補は $$s=2,s=-1+3\sqrt{5},s=-1-3\sqrt{5}$$ である。

ただし、$a,b$が実数として存在するには、$a,b$を2根にもつ方程式 $X^2-sX+p=0$ の判別式が0以上でなければならない。すなわち $s^2-4p\geqq 0$ である。ここに$$p={\displaystyle \frac{s^2-16}{2}}$$を代入すると $s^2-2(s^2-16)\geqq 0$ より $32-s^2\geqq 0$ である。上の3つの候補のうち、この条件を満たすのは$s=2$だけである。したがって $a+b=2$ である。

(2)
(1)より $$ab={\displaystyle \frac{(a+b{)}^2-(a^2+b^2)}{2}}={\displaystyle \frac{4-16}{2}}=-6$$ である。したがって$a,b$は $X^2-2X-6=0$ の2根である。よって $$a^2=2a+6,b^2=2b+6$$ が成り立つ。 $u_n=a^n+b^n$ とおく。上の等式にそれぞれ$a^{n-2}$, $b^{n-2}$を掛けて加えると、$n\geqq 2$について $u_n=2u_{n-1}+6u_{n-2}$ である。特に $$u_2=a^2+b^2=16,u_3=a^3+b^3=44$$ はどちらも4で割り切れる整数である。

ここで、ある$n\geqq 4$について$u_{n-1}$と$u_{n-2}$が4で割り切れる整数であると仮定すると、$u_n=2u_{n-1}+6u_{n-2}$ も整数であり、しかも右辺は4で割り切れる。したがって数学的帰納法により、すべての整数$n\geqq 2$について $a^n+b^n$ は4で割り切れる整数である。

(1) では $s=a+b,p=ab$ とおき、2本の対称式から $s$ の候補を求める。実数 $a,b$ が存在するための判別式で余分な候補を除く。(2)では $a,b$ を $1\pm \sqrt{7}$ と決定し、二項展開で無理数項の相殺と4の倍数性を直接示す。

(1) $$s=a+b,p=ab$$とおく。条件から$$s^2-2p=16$$だから$$p={\displaystyle \frac{s^2-16}{2}}\mathrm{.}$$また$$a^3+b^3=s^3-3ps=44$$である。$p$ を消去すると$$s^3-48s+88=0,$$すなわち$$(s-2)(s^2+2s-44)=0.$$従って候補は$$s=2,-1+3\sqrt{5},-1-3\sqrt{5}$$である。

一方、$a,b$ は $X^2-sX+p=0$ の実数解だから、その判別式は0以上である。$$s^2-4p=32-s^2\ge 0.$$上の3候補でこれを満たすのは $s=2$ だけなので$$a+b=2$$である。

(2)
(1)と $a^2+b^2=16$ より$$ab={\displaystyle \frac{(a+b{)}^2-(a^2+b^2)}{2}}=-6.$$従って $a,b$ は $X^2-2X-6=0$ の2根であり$$a=1+\sqrt{7},b=1-\sqrt{7}$$と順序を定めてよい。

二項定理より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a^n+b^n}& {\displaystyle =(1+\sqrt{7}{)}^n+(1-\sqrt{7}{)}^n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\sum _{j=0}^{\lfloor n\mathrm{/}2\rfloor }{}_n{\mathrm{C}}_{2j}{7}^j\mathrm{.}}\end{array}$$奇数次数の $\sqrt{7}$ を含む項は相殺されるので、これは整数である。

$7$ は奇数だから、括弧内の和の偶奇は$$\sum _{j=0}^{\lfloor n\mathrm{/}2\rfloor }{}_n{\mathrm{C}}_{2j}={\displaystyle \frac{(1+1{)}^n+(1-1{)}^n}{2}}=2^{n-1}$$と同じである。$n\ge 2$ では $2^{n-1}$ は偶数なので、括弧内の和は偶数である。従って $a^n+b^n$ は4で割り切れる整数である。