東京大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)

対数が定義されるためには $$x>0,y>0,4-2x>0$$ が必要である。この条件のもとで，$2+{\log }_{2}y={\log }_2(4y)$であるから，問題の不等式は $${\log }_{2}x\leqq {\log }_2(4y),{\log }_2(4y)\leqq {\log }_2\{x(4-2x)\}$$ と同値である。底$2$は$1$より大きいので $$x\leqq 4y,4y\leqq x(4-2x)$$ と同値である。したがって $${\displaystyle \frac{x}{4}}\leqq y\leqq x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$$ である。

上下の境界が交わるためには $${\displaystyle \frac{x}{4}}\leqq x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$$ でなければならない。いま$x>0$であるから，$x$で割って $${\displaystyle \frac{1}{4}}\leqq 1-{\displaystyle \frac{x}{2}},0<x\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}$$ を得る。よって$D$は $$0<x\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}},{\displaystyle \frac{x}{4}}\leqq y\leqq x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$$ で表される。図では，直線$y=x\mathrm{/}4$と放物線$y=x-x^2\mathrm{/}2$で囲まれる部分を塗る。ただし$x=0$上の点は含まず，交点$(3\mathrm{/}2,3\mathrm{/}8)$は含む。

(2) $s<1$とする。$D$の各$x$に対し，$y-sx$は$y$が大きいほど大きい。したがって最大値は上側境界 $$y=x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$$ 上で調べればよい。そこで $$\mathrm{\Phi }(x)=y-sx=(1-s)x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}(0<x\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}})$$ とおく。 $\mathrm{\Phi }(x)$は上に凸の2次関数で，軸は $x=1-s$ である。$s<1$より$1-s>0$である。 $-1\mathrm{/}2\leqq s<1$のとき，$0<1-s\leqq 3\mathrm{/}2$であるから軸の位置で最大となり，$$f(s)=\mathrm{\Phi }(1-s)={\displaystyle \frac{(1-s{)}^2}{2}}$$ である。 $s<-1\mathrm{/}2$のとき，$1-s>3\mathrm{/}2$である。区間$0<x\leqq 3\mathrm{/}2$では$\mathrm{\Phi }(x)$は右端まで増加するので，$$f(s)=\mathrm{\Phi }\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}(1-s)-{\displaystyle \frac{9}{8}}={\displaystyle \frac{3}{8}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}s$$ である。

以上より$$f(s)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{3}{8}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}s& (s<-{\displaystyle \frac{1}{2}}),\\ {\displaystyle \frac{(1-s{)}^2}{2}}& (-{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq s<1)\end{array}$$である。$s=1$は定義域に含まれないので，右端は$(1,0)$へ近づくが含まない。

最大値を支える直線 $y=sx+t$ を上から領域へ下ろす。放物線との接点が領域内にある場合と、右端点で支えられる場合を幾何的に分ける。

(1)
対数の底は $2>1$ であるから、真数条件のもとで$$x\leqq 4y\leqq x(4-2x)$$と同値である。したがって$$D=\{(x,y)|0<x\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}},{\displaystyle \frac{x}{4}}\leqq y\leqq x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\}\mathrm{.}$$(2)
$y-sx=t$ は傾き $s$ の直線 $y=sx+t$ の切片である。この直線を
上方から下げ、初めて $D$ に触れる位置を考える。上側境界$$y=x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$$の $x$ における接線の傾きは $1-x$ である。よって傾きが $s$ となる
接点は $x=1-s$ であり、これが $0<x\leqq 3\mathrm{/}2$ に入る条件は$$-{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq s<1$$である。このとき$$t=y-sx={\displaystyle \frac{(1-s{)}^2}{2}}\mathrm{.}$$一方、$s<-1\mathrm{/}2$ では接点が右端より右へ出るため、支点は
$(3\mathrm{/}2,3\mathrm{/}8)$ である。したがって$$t={\displaystyle \frac{3}{8}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}s\mathrm{.}$$以上から$$f(s)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{3}{8}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}s& (s<-{\displaystyle \frac{1}{2}}),\\ {\displaystyle \frac{(1-s{)}^2}{2}}& (-{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq s<1)\mathrm{.}\end{array}$$両式は $s=-1\mathrm{/}2$ で値も傾きも一致する。$s=1$ は定義域外なので、
$(1,0)$ はグラフに含まれない。