東京大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $$F(x)=a{x}^p-\log x(x>0)$$ とおく。$a>0,p>0$ であるから、$x\to +0$ のとき $-\log x\to +\mathrm{\infty }$ より $F(x)\to +\mathrm{\infty }$ である。また、問題文で与えられた極限から、$x\to \mathrm{\infty }$ のとき $a{x}^p$ は $\log x$ より十分大きくなるので $F(x)\to +\mathrm{\infty }$ である。

微分すると $$F^{\mathrm{\prime }}(x)=ap{x}^{p-1}-\frac{1}{x}=\frac{ap{x}^p-1}{x}$$ である。$x>0$ では $ap{x}^p$ は $0$ から $\mathrm{\infty }$ まで単調に増えるので、$F^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ となる点はただ1つである。したがって $F(x)$ はただ1つの最小値をもつ。

2曲線の共有点が1点のみであるためには、この最小値がちょうど $0$ でなければならない。共有点 $Q$ の $x$ 座標を $q$ とすると $F(q)=0,F^{\mathrm{\prime }}(q)=0$ である。すなわち $$a{q}^p=\log q,ap{q}^p=1$$ である。後式より $a{q}^p=\frac{1}{p}$ であり、前式と比べて $\log q=\frac{1}{p}$ を得る。したがって $q=e^{1\mathrm{/}p}$ である。また $$a{q}^p=\frac{1}{p},q^p=e$$ より $a=\frac{1}{pe}$ である。

(2)

(1) より $$y=a{x}^p=\frac{x^p}{pe},q=e^{1\mathrm{/}p}$$ である。$F(x)\geqq 0$ で等号は $x=q$ のみだから $$\frac{x^p}{pe}\geqq \log x$$ が $x>0$ で成り立つ。特に、$0<x<1$ では $\log x<0$ なので、囲まれる図形は $x$ 軸と $y={\displaystyle \frac{x^p}{pe}}$ の間にあり、$1\leqq x\leqq q$ では $y=\log x$ と $y={\displaystyle \frac{x^p}{pe}}$ の間にある。

よって回転体の体積を $V$ とすると$$V=\pi {\int }_0^q{\left(\frac{x^p}{pe}\right)}^{2}dx-\pi {\int }_1^q(\log x{)}^{2}dx$$である。

まず$$\pi {\int }_0^q{\left(\frac{x^p}{pe}\right)}^{2}dx=\frac{\pi }{p^2{e}^2}{\left[\frac{x^{2p+1}}{2p+1}\right]}_0^q=\frac{\pi q^{2p+1}}{p^2{e}^2(2p+1)}$$である。$q=e^{1\mathrm{/}p}$ より $q^{2p+1}=e^{2+1\mathrm{/}p}$ なので$$\pi {\int }_0^q{\left(\frac{x^p}{pe}\right)}^{2}dx=\frac{\pi e^{1\mathrm{/}p}}{p^2(2p+1)}$$である。

次に、部分積分により$$\int (\log x{)}^{2}dx=x(\log x{)}^2-2\int \log xdx=x\{(\log x{)}^2-2\log x+2\}$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_1^q(\log x{)}^{2}dx}& {\displaystyle =q\{(\log q{)}^2-2\log q+2\}-2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =e^{1\mathrm{/}p}(\frac{1}{p^2}-\frac{2}{p}+2)-2}\end{array}$$である。

ゆえに$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\pi \{\frac{e^{1\mathrm{/}p}}{p^2(2p+1)}-e^{1\mathrm{/}p}(\frac{1}{p^2}-\frac{2}{p}+2)+2\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi \{2+e^{1\mathrm{/}p}(\frac{1}{p^2(2p+1)}-\frac{1}{p^2}+\frac{2}{p}-2)\}}\end{array}$$である。括弧内を通分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{1}{p^2(2p+1)}-\frac{1}{p^2}+\frac{2}{p}-2}& {\displaystyle =\frac{1-(2p+1)+2p(2p+1)-2p^2(2p+1)}{p^2(2p+1)}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2(1-2p)}{2p+1}}\end{array}$$である。したがって $$V=2\pi \{1+\frac{(1-2p)e^{1\mathrm{/}p}}{2p+1}\}$$ である。

(3)

$V=2\pi$ とすると、(2)の式から $$\frac{(1-2p)e^{1\mathrm{/}p}}{2p+1}=0$$ である。ここで $p>0$ だから $$e^{1\mathrm{/}p}>0,2p+1>0$$ である。よって $1-2p=0$ であり $p=\frac{1}{2}$ を得る。

(1) は差 $F(x)=a{x}^p-\log x$ の唯一の最小点が共有点になることから $a$ と接点を求める。(2)では主解法の円板法と異なり、高さ $y$ の水平な細長い部分を $x$ 軸のまわりに回す円筒殻として積分する。2曲線を $x$ について解き、横幅を直接求める。

(1)

$F(x)=a{x}^p-\log x(x>0)$ とおくと$$F^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{ap{x}^p-1}{x}$$である。$ap{x}^p$ は単調に増えるので $F$ の極小点は1つだけである。また $x\to +0$ と $x\to \mathrm{\infty }$ の両方で $F(x)\to +\mathrm{\infty }$ だから、共有点が1点だけであるための条件は、その極小値が $0$ となることである。

共有点の $x$ 座標を $q$ とすると$$a{q}^p=\log q,ap{q}^p=1$$である。したがって$$\log q=\frac{1}{p},q=e^{1\mathrm{/}p},a=\frac{1}{pe}$$となる。

(2)

共有点の高さは $1\mathrm{/}p$ である。高さ $y$ を固定すると、$y=a{x}^p$ 上の点の $x$ 座標は$$x=(pey{)}^{1\mathrm{/}p}$$であり、$y=\log x$ 上の点の $x$ 座標は$$x=e^y$$である。したがって $0\leqq y\leqq 1\mathrm{/}p$ における領域の横幅は$$e^y-(pey{)}^{1\mathrm{/}p}$$である。

この水平部分を $x$ 軸のまわりに回すと、半径 $y$、高さが上の横幅である薄い円筒殻になる。よって体積は$$V=2\pi {\int }_0^{1\mathrm{/}p}y\{e^y-(pey{)}^{1\mathrm{/}p}\}dy$$である。

第1項は$${\int }_0^{1\mathrm{/}p}y{e}^{y}dy={[e^y(y-1)]}_0^{1\mathrm{/}p}=e^{1\mathrm{/}p}(\frac{1}{p}-1)+1$$である。第2項は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{1\mathrm{/}p}y(pey{)}^{1\mathrm{/}p}dy}& {\displaystyle =(pe{)}^{1\mathrm{/}p}{\left[\frac{y^{2+1\mathrm{/}p}}{2+1\mathrm{/}p}\right]}_0^{1\mathrm{/}p}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{e^{1\mathrm{/}p}}{p(2p+1)}}\end{array}$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =2\pi \{1+e^{1\mathrm{/}p}(\frac{1-p}{p}-\frac{1}{p(2p+1)})\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\pi \{1+\frac{(1-2p)e^{1\mathrm{/}p}}{2p+1}\}}\end{array}$$となる。

(3)

$V=2\pi$ とすると$$\frac{(1-2p)e^{1\mathrm{/}p}}{2p+1}=0$$である。$p>0$ だから $e^{1\mathrm{/}p}>0$ かつ $2p+1>0$ であり$$p=\frac{1}{2}$$を得る。