東大 2024年度文系数学第2問｜問題・解答・解説

方針

(1) は与えられた $0.3 < \log_{10} 2 < 0.31$ から $0.69 < \log_{10} 5 < 0.7$ を作り， $27 \log_{10} 5 < 19 < 28 \log_{10} 5$ を示す。(2)は $m = 28$ で成り立つことは(1)から直ちに分かる。最小性の確認では， $m ≦ 27$ なら $5^{m} + 4^{m} ≦ 5^{27} + 4^{27}$ なので， $m = 27$ でも $10^{19}$ に届かないことを示せば十分である。 $5^{27}$ でくくり， $10^{19} / 5^{27} = 2^{19} / 5^{8}$ と比較する。

解答

(1) $\log_{10} 5 = \log_{10} \frac{10}{2} = 1 - \log_{10} 2$ である。問題の条件 $0.3 < \log_{10} 2 < 0.31$ より $0.69 < \log_{10} 5 < 0.7$ である。

$n = 27$ については $27 \log_{10} 5 < 27 \cdot 0.7 = 18.9 < 19$ であるから $5^{27} < 10^{19}$ である。一方， $n = 28$ については $28 \log_{10} 5 > 28 \cdot 0.69 = 19.32 > 19$ であるから $5^{28} > 10^{19}$ である。したがって， $5^{n} > 10^{19}$ となる最小の自然数 $n$ は $28$ である。

(2)
(1)より $5^{28} > 10^{19}$ であるから， $m = 28$ なら $5^{28} + 4^{28} > 10^{19}$ である。よって，あとは $m ≦ 27$ では成り立たないことを示せばよい。

$m ≦ 27$ では $5^{m} + 4^{m} ≦ 5^{27} + 4^{27}$ なので， $m = 27$ の場合を上から評価する。 $5^{27} + 4^{27} = 5^{27} {1 + {(\frac{4}{5})}^{27}}$ である。ここで ${(\frac{4}{5})}^{27} < {(\frac{4}{5})}^{5} = \frac{1024}{3125} = \frac{128000}{390625} < \frac{133663}{390625}$ である。したがって $1 + {(\frac{4}{5})}^{27} < 1 + \frac{133663}{390625} = \frac{524288}{390625} = \frac{2^{19}}{5^{8}}$ となる。よって $5^{27} + 4^{27} < 5^{27} \cdot \frac{2^{19}}{5^{8}} = 2^{19} 5^{19} = 10^{19}$ である。

以上より， $m ≦ 27$ では不成立で， $m = 28$ では成立する。したがって求める最小の自然数 $m$ は $28$ である。

総評

与えられた常用対数の評価を，境界の自然数だけに使う問題。難度4，計算量4，想定時間15分。(1)は27と28を挟み撃ちし，(2)は単調性により $m = 27$ だけを上から抑えればよい。 $4^{27}$ を無視せず， $(4 / 5)^{27}$ にまとめて厳密な分数評価を与えるのが核心である。

【出典確認】東京大学公式「令和6年度前期日程第2次学力試験・文科数学」PDF第6ページを原寸画像で照合し， $10^{19}$ ，自然数 $n, m$ ，使用可能な評価 $0.3 < \log_{10} 2 < 0.31$ を確認した。公式解答・採点講評は公表されていない。

【独立検算】多倍長整数で $5^{27} < 10^{19} < 5^{28}$ および $5^{27} + 4^{27} < 10^{19} < 5^{28} + 4^{28}$ を直接比較し，両方の最小値が28であることを確認した。答案中の上界 $1 + (4 / 5)^{27} < 2^{19} / 5^{8}$ も分母を払った整数比較で成立する。

出典: 東京大学令和6年度前期日程第2次学力試験文科数学（公式問題PDF）（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

東京大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

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東京大学 2024年度前期日程第2次学力試験文系数学第2問