東京大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

$$I=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}-a& 1\\ 1& a\end{array}\right)$$とおくと $A=(1+a)I+B$ である。$$\vec{u}=(\cos \theta ,\sin \theta )$$と書くと$$B\vec{u}=\left(\begin{array}{c}-a\cos \theta +\sin \theta \\ \cos \theta +a\sin \theta \end{array}\right)$$であるから$$\mathrm{\mid }B\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2=(-a\cos \theta +\sin \theta {)}^2+(\cos \theta +a\sin \theta {)}^2=1+a^2$$である。また$\mathrm{\mid }\vec{u}\mathrm{\mid }=1$である。

まず三角不等式より$$\mathrm{\mid }A\vec{u}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }(1+a)\vec{u}+B\vec{u}\mathrm{\mid }\leqq (1+a)\mathrm{\mid }\vec{u}\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }B\vec{u}\mathrm{\mid }=1+a+\sqrt{1+a^2}$$である。$0<a\leqq 1$より$1+a\leqq 2$，$$\sqrt{1+a^2}\leqq \sqrt{2}$$なので $\mathrm{\mid }A\vec{u}\mathrm{\mid }\leqq 2+\sqrt{2}$ を得る。

次に逆向きの三角不等式より $$\mathrm{\mid }A\vec{u}\mathrm{\mid }\geqq (1+a)\mathrm{\mid }\vec{u}\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }B\vec{u}\mathrm{\mid }=1+a-\sqrt{1+a^2}$$ である。あとは $$1+a-\sqrt{1+a^2}\geqq (2-\sqrt{2})a$$ を示せばよい。これは $$1+(\sqrt{2}-1)a\geqq \sqrt{1+a^2}$$ と同値であり，両辺は正である。平方して比べると $$\{1+(\sqrt{2}-1)a{\}}^2-(1+a^2)=2(\sqrt{2}-1)a(1-a)\geqq 0$$ となるから，確かに成り立つ。

以上より $$(2-\sqrt{2})a\leqq \mathrm{\mid }A\vec{u}\mathrm{\mid }\leqq 2+\sqrt{2}$$ である。

$\mathrm{\mid }A\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2$ を三角関数で直接展開する。振幅の評価から正確な上下端を得て、それを問題の一様な評価へ落とす。

成分を直接計算すると$$A\vec{u}=\left(\begin{array}{c}\cos \theta +\sin \theta \\ \cos \theta +(1+2a)\sin \theta \end{array}\right)\mathrm{.}$$平方して倍角公式で整理すれば$$\mathrm{\mid }A\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2=(1+a{)}^2+(1+a^2)+2(1+a)(-a\cos 2\theta +\sin 2\theta )\mathrm{.}$$ここで$$-\sqrt{1+a^2}\leqq -a\cos 2\theta +\sin 2\theta \leqq \sqrt{1+a^2}$$であるから$$\{1+a-\sqrt{1+a^2}{\}}^2\leqq \mathrm{\mid }A\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2\leqq \{1+a+\sqrt{1+a^2}{\}}^2\mathrm{.}$$各辺は非負なので平方根を取ってよい。上側は $0<a\leqq 1$ より$$1+a+\sqrt{1+a^2}\leqq 2+\sqrt{2}\mathrm{.}$$下側については$$1+a-\sqrt{1+a^2}\geqq (2-\sqrt{2})a$$を示せばよい。両辺を移項した$$1+(\sqrt{2}-1)a\geqq \sqrt{1+a^2}$$は両辺が正であり、平方後の差は$$2(\sqrt{2}-1)a(1-a)\geqq 0$$となる。よって$$(2-\sqrt{2})a\leqq \mathrm{\mid }A\vec{u}\mathrm{\mid }\leqq 2+\sqrt{2}$$が従う。なお、振幅評価の等号を与える $\theta$ は存在するので、途中で得た
$1+a\pm \sqrt{1+a^2}$ は固定した $a$ に対する正確な最大・最小である。