東京大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

$P=(u,-u^3+au)$ とおく。点 $P$ における接線の傾きは $a-3u^2$ だから、
接線と $y$ 軸との交点は$$Q=(0,2u^3)$$である。直線 $OP$ の傾きを$$m=a-u^2$$とおく。$OQ$ と $OP$ の単位方向ベクトルは、それぞれ$$(0,1),{\displaystyle \frac{(1,m)}{\sqrt{1+m^2}}}$$である。したがって内角の二等分線の傾きは$$m+\sqrt{1+m^2}\mathrm{.}$$一方、原点における接線は $y=ax$ なので$$a=m+\sqrt{1+m^2}\mathrm{.}$$$m=a-u^2$ を代入すると$$u^2=\sqrt{1+(a-u^2{)}^2}\mathrm{.}$$2乗して整理すれば$$u^2={\displaystyle \frac{a^2+1}{2a}}\mathrm{.}$$底辺を $OQ$ と見ると、その長さは $2u^3$、高さは $u$ である。よって$$S(a)={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 2u^3\cdot u=u^4={\displaystyle \frac{1}{4}}{(a+{\displaystyle \frac{1}{a}})}^2\mathrm{.}$$$a>0$ より$$a+{\displaystyle \frac{1}{a}}\geqq 2$$であり、等号は $a=1$ のときに成り立つ。したがって$$\min S(a)=1,a=1.$$接線と角の二等分線

角の二等分線上の点は角を作る2直線からの距離が等しいことを使う。
傾き $a$ の直線上の具体的な点 $T=(1,a)$ を選ぶと、条件が短く式になる。

$P=(u,-u^3+au)$，$u>0$ とおく。接線の式から$$Q=(0,2u^3)$$を得る。また直線 $OP$ は$$y=mx,m=a-u^2$$である。原点における接線 $y=ax$ 上の点 $T=(1,a)$ をとる。
この直線が $\mathrm{\angle }QOP$ の二等分線なので、$T$ から直線 $OQ$ と $OP$ までの距離は等しい。

直線 $OQ$ は $x=0$ だから距離は $1$ である。直線 $OP$ は $mx-y=0$ なので距離は$${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }m-a\mathrm{\mid }}{\sqrt{1+m^2}}}={\displaystyle \frac{u^2}{\sqrt{1+m^2}}}\mathrm{.}$$よって$$u^2=\sqrt{1+(a-u^2{)}^2}\mathrm{.}$$これを2乗して$$2a{u}^2=a^2+1,u^2={\displaystyle \frac{a^2+1}{2a}}\mathrm{.}$$三角形の面積は$$S(a)={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot OQ\cdot u=u^4={\displaystyle \frac{1}{4}}{(a+{\displaystyle \frac{1}{a}})}^2\mathrm{.}$$ここで$${(a-{\displaystyle \frac{1}{a}})}^2\geqq 0$$より $(a+1\mathrm{/}a{)}^2\geqq 4$ であり、等号は $a=1$ のときである。
したがって$$\min S(a)=1,a=1$$となる。