東京大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

行列の積は$$X^2=\left(\begin{array}{cc}{x}^2-y^2& -2xy\\ 2xy& x^2-y^2\end{array}\right)$$である。したがって$$X^2-2X+aE=\left(\begin{array}{cc}{x}^2-y^2-2x+a& 2y(1-x)\\ 2y(x-1)& x^2-y^2-2x+a\end{array}\right)$$となる。これが零行列であることは $$x^2-y^2-2x+a=0,2y(x-1)=0$$ と同値である。

まず $y=0$ の場合を考える。このとき $x^2-2x+a=0$ であり，$(x-1{)}^2=1-a$ となる。よって実数解をもつのは $a\leqq 1$ のときで，そのとき $$x=1\pm \sqrt{1-a},y=0$$ である。

次に $x=1$ の場合を考える。このとき $1-y^2-2+a=0$ すなわち $y^2=a-1$ である。よって実数解をもつのは $a\geqq 1$ のときで，そのとき $$x=1,y=\pm \sqrt{a-1}$$ である。

ただし $a=1$ では，前者からも後者からも同じ解 $(x,y)=(1,0)$ が得られる。したがって求める実数 $x,y$ は$$\{\begin{array}{ll}(x,y)=(1+\sqrt{1-a},0),(1-\sqrt{1-a},0)& (a<1),\\ (x,y)=(1,0)& (a=1),\\ (x,y)=(1,\sqrt{a-1}),(1,-\sqrt{a-1})& (a>1)\end{array}$$である。

行列$$\left(\begin{array}{cc}x& -y\\ y& x\end{array}\right)$$を複素数$z=x+yi$に対応させる。この対応では行列の和と積が複素数の和と積に一致するので，行列方程式を複素2次方程式に直す。$1-a$の符号によって平方根が実数か純虚数かを分け，実部と虚部を読み取る。

行列$$\left(\begin{array}{cc}x& -y\\ y& x\end{array}\right)$$を複素数$z=x+yi$に対応させる。この形の行列同士の積は，対応する複素数の積と同じ成分をもつ。また$E$は複素数1，$O$は複素数0に対応する。したがって与えられた行列方程式は$$z^2-2z+a=0$$と同値である。平方完成すると$$(z-1{)}^2=1-a$$となる。

$a<1$のときは$1-a>0$だから$$z=1\pm \sqrt{1-a}\mathrm{.}$$よって$$(x,y)=(1+\sqrt{1-a},0),(1-\sqrt{1-a},0)\mathrm{.}$$$a=1$のときは$z=1$だけであり，$$(x,y)=(1,0)\mathrm{.}$$$a>1$のときは$$(z-1{)}^2=-(a-1)$$だから$$z=1\pm \sqrt{a-1}i\mathrm{.}$$したがって$$(x,y)=(1,\sqrt{a-1}),(1,-\sqrt{a-1})\mathrm{.}$$以上をまとめれば解法1と同じ場合分けを得る。