東京大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

直線 $y=2x+1$ 上の2点 $(0,1),(1,3)$ を考える。1次変換は直線を直線に移すので、この2点の移る先が直線 $y=-3x-1$ 上にあればよい。

点 $(0,1)$ は $(-b,a)$ に移る。これが $y=-3x-1$ 上にあるから $a=-3(-b)-1=3b-1$ である。

点 $(1,3)$ は $(a-3b,b+3a)$ に移る。これも $y=-3x-1$ 上にあるので $b+3a=-3(a-3b)-1$ である。整理すると $6a-8b+1=0$ である。$a=3b-1$ を代入して $6(3b-1)-8b+1=0$ より $10b-5=0$ となる。したがって $$a=b={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。

点 $P(1,2)$ の移る点 $Q$ は$$Q=({\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 1-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 2,{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 1+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 2)=(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{3}{2}})$$である。よって$$\overrightarrow{OP}=(1,2),\overrightarrow{OQ}=(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{3}{2}})$$であり、$$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}=1\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{2}})+2\cdot {\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{5}{2}}$$である。また $$\mathrm{\mid }OP\mathrm{\mid }=\sqrt{5},\mathrm{\mid }OQ\mathrm{\mid }=\sqrt{{\displaystyle \frac{10}{4}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{2}}$$ だから$$\cos \mathrm{\angle }POQ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{5}{2}}}{\sqrt{5}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{2}}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$$である。したがって求める角は ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ である。

変換後の座標を $(X,Y)$ とし、逆変換で元の直線 $y-2x-1=0$ を書き換える。得られる直線が $3X+Y+1=0$ と係数比例する条件から $a,b$ を決める。最後は行列が表す回転角を直接読む。

変換後の座標を$$X=ax-by,Y=bx+ay$$とする。直線が直線へ移るので $a^2+b^2\text{neqq}0$ であり、逆に$$x={\displaystyle \frac{aX+bY}{a^2+b^2}},y={\displaystyle \frac{-bX+aY}{a^2+b^2}}$$と書ける。元の直線 $y-2x-1=0$ は$$(-b-2a)X+(a-2b)Y-(a^2+b^2)=0$$へ移る。これが$$3X+Y+1=0$$と同じ直線だから、ある0でない実数 $k$ により$$-b-2a=3k,a-2b=k,-(a^2+b^2)=k$$である。最初の二式から $a=b$、さらに $k=-a$ である。第3式より$$-2a^2=-a\mathrm{.}$$$a\text{neqq}0$ なので $a=b=1\mathrm{/}2$ を得る。

この変換は複素数でいえば $1\mathrm{/}2+i\mathrm{/}2$ を掛ける変換と同じで、長さを $1\mathrm{/}\sqrt{2}$ 倍し、正の向きに $\pi \mathrm{/}4$ 回転する。したがって任意の半直線とその像のなす小さい角は$${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$であり、特に $\mathrm{\angle }POQ=\pi \mathrm{/}4$ である。