東京大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1)
左辺を順に掛けると$$\left(\begin{array}{ccc}1& a& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& b\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& a& ab\\ 0& 1& b\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$であり、さらに$$\left(\begin{array}{ccc}1& a& ab\\ 0& 1& b\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& c& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& a+c& ab\\ 0& 1& b\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$となる。

右辺は$$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& x\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& y& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& y& 0\\ 0& 1& x\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$であり、さらに$$\left(\begin{array}{ccc}1& y& 0\\ 0& 1& x\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& z\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& y& yz\\ 0& 1& x+z\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$である。

成分を比較して $$y=a+c,yz=ab,x+z=b$$ を得る。$a+c>0$ なので $$z={\displaystyle \frac{ab}{a+c}},x=b-z={\displaystyle \frac{bc}{a+c}}$$ である。したがって $$x={\displaystyle \frac{bc}{a+c}},y=a+c,z={\displaystyle \frac{ab}{a+c}}$$ である。

(2) $y=t$ と固定する。$y=a+c$ なので $t=a+c$ である。$1\leqq a\leqq 2$、$1\leqq c\leqq 2$ より、切り口が空でないのは $2\leqq t\leqq 4$ のときである。

また(1)より $$x+z=b,{\displaystyle \frac{z}{x+z}}={\displaystyle \frac{a}{a+c}}={\displaystyle \frac{a}{t}}$$ である。ここで $1\leqq b\leqq 2$ だから $1\leqq x+z\leqq 2$ である。 $2\leqq t\leqq 3$ のとき、$c=t-a$ が $1\leqq c\leqq 2$ を満たすためには $1\leqq a\leqq t-1$ である。よって $${\displaystyle \frac{1}{t}}\leqq {\displaystyle \frac{z}{x+z}}\leqq {\displaystyle \frac{t-1}{t}}$$ である。 $3\leqq t\leqq 4$ のときは $t-2\leqq a\leqq 2$ であるから $${\displaystyle \frac{t-2}{t}}\leqq {\displaystyle \frac{z}{x+z}}\leqq {\displaystyle \frac{2}{t}}$$ である。

一般に $$r_1\leqq {\displaystyle \frac{z}{x+z}}\leqq r_2,1\leqq x+z\leqq 2$$ で表される部分を考える。2本の境界 $z\mathrm{/}(x+z)=r_1,r_2$ は原点を通る半直線である。直線 $x+z=1$ 上での交点は $(1-r_1,r_1),(1-r_2,r_2)$ である。原点とこの2点でできる三角形の面積は $${\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\mid }(1-r_1)r_2-(1-r_2)r_1\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1}{2}}(r_2-r_1)$$ である。直線 $x+z=2$ まで拡大した三角形は相似比2なので面積は4倍である。したがって、$1\leqq x+z\leqq 2$ に挟まれた部分の面積は $$4\cdot \frac{1}{2}(r_2-r_1)-{\displaystyle \frac{1}{2}}(r_2-r_1)={\displaystyle \frac{3}{2}}(r_2-r_1)$$ である。

よって切り口の面積を $A(t)$ とすると$$A(t)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{3}{2}}({\displaystyle \frac{t-1}{t}}-{\displaystyle \frac{1}{t}})& (2\leqq t\leqq 3),\\ {\displaystyle \frac{3}{2}}({\displaystyle \frac{2}{t}}-{\displaystyle \frac{t-2}{t}})& (3\leqq t\leqq 4)\end{array}$$である。整理して$$A(t)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{3(t-2)}{2t}}& (2\leqq t\leqq 3),\\ {\displaystyle \frac{3(4-t)}{2t}}& (3\leqq t\leqq 4)\end{array}$$である。

(3)
体積は切り口面積を $t$ で積分して ${\int }_2^3{\displaystyle \frac{3(t-2)}{2t}}dt+{\int }_3^4{\displaystyle \frac{3(4-t)}{2t}}dt$ である。これを計算すると$${\displaystyle \frac{3}{2}}{\int }_2^3(1-{\displaystyle \frac{2}{t}})dt+{\displaystyle \frac{3}{2}}{\int }_3^4({\displaystyle \frac{4}{t}}-1)dt$$であるから ${\displaystyle \frac{3}{2}}[t-2\log t{]}_2^3+{\displaystyle \frac{3}{2}}[4\log t-t{]}_3^4$ となる。整理して ${\displaystyle \frac{3}{2}}\{(1+2\log 2-2\log 3)+(-1+8\log 2-4\log 3)\}$ であり、これは $$3(5\log 2-3\log 3)=3\log {\displaystyle \frac{32}{27}}$$ である。よって立体 $K$ の体積は $3\log {\displaystyle \frac{32}{27}}$ である。

$t=a+c$、$r=a\mathrm{/}(a+c)$ と置くと $(x,z)=(b(1-r),br)$ になる。$(b,r)$ から $(x,z)$ への面積倍率が $b$ であることを使い、切り口面積と体積を積分で一続きに求める。

(1)
両辺の行列を掛けて成分を比較すると$$y=a+c,yz=ab,x+z=b\mathrm{.}$$よって$$x={\displaystyle \frac{bc}{a+c}},y=a+c,z={\displaystyle \frac{ab}{a+c}}\mathrm{.}$$(2)$$t=a+c,r={\displaystyle \frac{a}{a+c}}$$とおくと$$y=t,x=b(1-r),z=br\mathrm{.}$$固定した $t$ に対し、$(b,r)$ から $(x,z)$ への面積倍率は$$\mid \begin{array}{cc}1-r& -b\\ r& b\end{array}\mid =b$$である。また $1\leqq b\leqq 2$ である。

$2\leqq t\leqq 3$ では $1\leqq a\leqq t-1$ なので$${\displaystyle \frac{1}{t}}\leqq r\leqq {\displaystyle \frac{t-1}{t}}\mathrm{.}$$したがって切り口面積は$$A(t)={\int }_1^2{\int }_{1\mathrm{/}t}^{(t-1)\mathrm{/}t}bdrdb={\displaystyle \frac{3(t-2)}{2t}}\mathrm{.}$$同様に $3\leqq t\leqq 4$ では $t-2\leqq a\leqq 2$ より$$A(t)={\int }_1^2{\int }_{(t-2)\mathrm{/}t}^{2\mathrm{/}t}bdrdb={\displaystyle \frac{3(4-t)}{2t}}\mathrm{.}$$範囲外では切り口は空である。

(3)
以上から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{Vol}(K)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3}{2}}{\int }_2^3{\displaystyle \frac{t-2}{t}}dt+{\displaystyle \frac{3}{2}}{\int }_3^4{\displaystyle \frac{4-t}{t}}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3\log {\displaystyle \frac{32}{27}}\mathrm{.}}\end{array}$$