東大 1987年度文系数学第1問｜問題・解答・解説

方針

行列の式を成分で展開する。対称行列 $X$ について $X^{2} - 4 X + 3 E = O$ を書き下すと、対角成分から $z^{2}$ の条件、非対角成分から $z (x + y - 4) = 0$ が得られる。 $z = 0$ の場合と $x + y = 4$ の場合に分け、実数 $z$ が存在するための条件を $z^{2} ≧ 0$ として読み取る。最後は、平面上で線分と孤立した2点として図示する。

解答

条件 $X^{2} - 4 X + 3 E = O$ を成分で書く。 $X$ の第1行が $(x, z)$ 、第2行が $(z, y)$ であるから、 $X^{2}$ の第1行は $(x^{2} + z^{2}, x z + z y)$ 第2行は $(z x + y z, z^{2} + y^{2})$ である。したがって条件は $x^{2} + z^{2} - 4 x + 3 = 0,$ $y^{2} + z^{2} - 4 y + 3 = 0,$ $z (x + y - 4) = 0$ である。

まず $z = 0$ の場合を考える。このとき $x^{2} - 4 x + 3 = 0, y^{2} - 4 y + 3 = 0$ だから $x = 1, 3, y = 1, 3$ である。よって $(1, 1), (1, 3), (3, 1), (3, 3)$ が得られる。

次に $z \neq 0$ の場合を考える。このとき $x + y = 4$ である。また第1の式から $z^{2} = - x^{2} + 4 x - 3 = (x - 1) (3 - x)$ である。実数 $z$ が存在するための必要十分条件は $z^{2} ≧ 0$ すなわち $1 ≦ x ≦ 3$ である。 $y = 4 - x$ なので、この場合に得られる点は $x + y = 4, 1 ≦ x ≦ 3$ を満たす線分上の点である。この線分の端点は $(1, 3), (3, 1)$ であり、これは $z = 0$ の場合にも含まれている。

以上より、求める範囲は $x + y = 4, 1 ≦ x ≦ 3$ で表される線分と、孤立した2点 $(1, 1), (3, 3)$ である。図示では、点 $(1, 3)$ と $(3, 1)$ を結ぶ線分を描き、さらに $(1, 1)$ 、 $(3, 3)$ を打てばよい。

別解

解法2：二つの因数条件を同時に使う

方針

成分条件の二つの対角式を引くと $(x - y) (x + y - 4) = 0$ 、非対角成分から $z (x + y - 4) = 0$ を得る。そこで $x + y = 4$ か否かで分けると、線分と二つの孤立点を短く分類できる。

解答

成分比較により $x^{2} + z^{2} - 4 x + 3 = 0, y^{2} + z^{2} - 4 y + 3 = 0,$ $z (x + y - 4) = 0$ を得る。最初の二式を引くと $(x - y) (x + y - 4) = 0.$ $x + y = 4$ のとき、第1式から $z^{2} = (x - 1) (3 - x)$ である。実数 $z$ が存在する条件は $1 ≦ x ≦ 3$ であるから、端点 $(1, 3), (3, 1)$ を含む線分 $x + y = 4, 1 ≦ x ≦ 3$ を得る。

$x + y \neqq 4$ のときは、上の二つの因数条件から $x = y$ かつ $z = 0$ である。対角式は $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ となるので $x = y = 1$ または $x = y = 3$ である。よって、この場合は $(1, 1), (3, 3)$ である。

以上より、求める範囲は線分 $x + y = 4, 1 ≦ x ≦ 3$ と、孤立点 $(1, 1), (3, 3)$ の和集合である。

総評

難度5、計算量4、目安時間12分。原問題が行列方程式を明示しているため、成分比較を正面から用いる。 $z = 0$ と $x + y = 4$ の場合分け、または二つの因数条件の同時利用で、線分と孤立点を漏れなく分類する。端点の重複を整理し、図には線分と二つの孤立点を明示する。

出典: 東京大学 1987年度第2次学力試験数学。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

東京大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

方針

解答

別解

方針

解答

総評

東京大学 1987年度前期日程第2次学力試験文系数学第1問