東京大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

線分 $PQ$ 上で高さが $z$ である点を $(x(z),y(z),z)$ とする。$Q$ の高さは $0$，$P$ の高さは $1$ であるから，$0\leqq z\leqq 1$ に対して $$(x(z),y(z),z)=(1-z)(a,a+1,0)+z(1,0,1)$$ と表せる。したがって $$x(z)=a+(1-a)z,y(z)=(a+1)(1-z)$$ である。

この点を $z$ 軸のまわりに回転すると，高さ $z$ における半径は $\sqrt{x(z{)}^2+y(z{)}^2}$ である。よって断面積は$\pi \{x(z{)}^2+y(z{)}^2\}$となり，$$V(a)=\pi {\int }_0^1[\{a+(1-a)z{\}}^2+\{(a+1)(1-z){\}}^2]dz$$である。

積分するために中身を展開すると $$\{a+(1-a)z{\}}^2+\{(a+1)(1-z){\}}^2=2a^2+2a+1+(-4a^2-2a-2)z+(2a^2+2)z^2$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{V(a)}{\pi }}}& {\displaystyle =2a^2+2a+1+{\displaystyle \frac{-4a^2-2a-2}{2}}+{\displaystyle \frac{2a^2+2}{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2a^2+3a+2}{3}}}\end{array}$$となる。

よって $$V(a)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(2a^2+3a+2)$$ である。ここで $$2a^2+3a+2=2{(a+{\displaystyle \frac{3}{4}})}^2+{\displaystyle \frac{7}{8}}$$ だから，$V(a)$ は $a=-{\displaystyle \frac{3}{4}}$ のとき最小となる。その最小値は $${\displaystyle \frac{\pi }{3}}\cdot {\displaystyle \frac{7}{8}}={\displaystyle \frac{7\pi }{24}}$$ である。

高さ$z$の回転半径を，$xy$平面上の2ベクトルの一次結合として表す。一次結合の長さの2乗を積分する一般公式を先に作れば，座標を完全に展開せずに体積が得られる。最後は$a$の二次式を平方完成する。

$xy$平面上のベクトル$$\mathit{p}=(1,0),\mathit{q}=(a,a+1)$$を考える。高さ$z$にある線分$PQ$上の点の$xy$成分は$$(1-z)\mathit{q}+z\mathit{p}(0\leqq z\leqq 1)$$である。したがって$${\displaystyle \frac{V(a)}{\pi }}={\int }_0^1{\mid (1-z)\mathit{q}+z\mathit{p}\mid }^{2}dz\mathrm{.}$$一般に$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^1{\mid (1-z)\mathit{q}+z\mathit{p}\mid }^{2}dz}& {\displaystyle =\mathrm{\mid }\mathit{q}{\mathrm{\mid }}^2{\int }_0^1(1-z{)}^{2}dz}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +2\mathit{p}\cdot \mathit{q}{\int }_0^{1}z(1-z)dz}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +\mathrm{\mid }\mathit{p}{\mathrm{\mid }}^2{\int }_0^1{z}^{2}dz}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\mathit{q}{\mathrm{\mid }}^2+\mathit{p}\cdot \mathit{q}+\mathrm{\mid }\mathit{p}{\mathrm{\mid }}^2}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで$$\mathrm{\mid }\mathit{q}{\mathrm{\mid }}^2=2a^2+2a+1,\mathit{p}\cdot \mathit{q}=a,\mathrm{\mid }\mathit{p}{\mathrm{\mid }}^2=1$$だから$$V(a)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(2a^2+3a+2)\mathrm{.}$$平方完成すると$$2a^2+3a+2=2{(a+{\displaystyle \frac{3}{4}})}^2+{\displaystyle \frac{7}{8}}\mathrm{.}$$よって$$a=-{\displaystyle \frac{3}{4}}$$のとき最小となり，最小値は$${\displaystyle \frac{7\pi }{24}}$$である。