東京大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

点 $P(a,b)$ は $(a-2{)}^2+(b-1{)}^2=1$ を満たす。よって $$1\leqq a\leqq 3,0\leqq b\leqq 2$$ である。

正方形 $S(P)$ の $x$ 座標は $$a-{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq x\leqq a+{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ を満たす。ここで $a\geqq 1$ だから，この区間は正の側にあり，原点に最も近い $x$ 座標は $a-1\mathrm{/}2$ である。

一方，$y$ 座標は $$b-{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq y\leqq b+{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ を満たす。$b\leqq 1\mathrm{/}2$ ならこの区間は $0$ を含むので，原点に最も近い $y$ 座標は $0$ である。$b>1\mathrm{/}2$ なら区間全体が正の側にあるので，原点に最も近い $y$ 座標は $b-1\mathrm{/}2$ である。

したがって $$X=a-{\displaystyle \frac{1}{2}},Y=b-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ とおくと，$(X,Y)$ は $${(X-{\displaystyle \frac{3}{2}})}^2+{(Y-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2=1$$ を満たし，$$f(P{)}^2=\{\begin{array}{ll}{X}^2& (Y\leqq 0),\\ X^2+Y^2& (Y\geqq 0)\end{array}$$である。$Y=0$ では二つの式は同じ値を与える。

まず $Y\geqq 0$ の部分を考える。このとき $f(P)$ は原点から円周上の点 $(X,Y)$ までの距離である。円の中心は $({\displaystyle \frac{3}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$ で，その原点からの距離は$$\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2}={\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{2}}$$である。したがって三角形の辺の長さの関係より $$f(P)\leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{2}}+1$$ である。等号は，中心から原点と反対方向へ半径1だけ進んだ点 $({\displaystyle \frac{3}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}}(3,1)$ で成り立つ。この点は $Y>0$ を満たすので，実際に許される。

次に $Y\leqq 0$ の部分を考える。このとき $f(P)=X$ である。円周上で $Y=0$ とすると $${(X-{\displaystyle \frac{3}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}=1$$ より，この部分での $X$ の最大値は ${\displaystyle \frac{3}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ である。これは $${\displaystyle \frac{3}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}<1+{\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{2}}$$ を満たす。

以上より，$f(P)$ の最大値は $1+{\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{2}}$ である。

円周上の点を三角関数で表し，正方形から原点までの距離を$b\leqq 1\mathrm{/}2$と$b\geqq 1\mathrm{/}2$で分ける。後者では距離の2乗が$3\cos \theta +\sin \theta$を含む形になるので，合成またはコーシーの不等式で最大化する。前者の最大候補と比較して結論する。

円周上の点を$$P=(2+\cos \theta ,1+\sin \theta )$$とおく。正方形の左端と下端に対応して$$X={\displaystyle \frac{3}{2}}+\cos \theta ,Y={\displaystyle \frac{1}{2}}+\sin \theta$$とおけば，$$f(P{)}^2=\{\begin{array}{ll}{X}^2& (Y\leqq 0),\\ X^2+Y^2& (Y\geqq 0)\end{array}$$である。

まず$Y\geqq 0$のとき，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(P{)}^2}& {\displaystyle ={({\displaystyle \frac{3}{2}}+\cos \theta )}^2+{({\displaystyle \frac{1}{2}}+\sin \theta )}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{7}{2}}+3\cos \theta +\sin \theta \mathrm{.}}\end{array}$$ここで$$3\cos \theta +\sin \theta \leqq \sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$$である。等号は$$\cos \theta ={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{10}}},\sin \theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}}$$のとき成り立ち，このとき$Y>0$なので許される。よってこの部分で$$f(P{)}^2\leqq {\displaystyle \frac{7}{2}}+\sqrt{10}={(1+{\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{2}})}^2\mathrm{.}$$次に$Y\leqq 0$のときは$f(P)=X$である。円$${(X-{\displaystyle \frac{3}{2}})}^2+{(Y-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2=1$$の$Y\leqq 0$の部分で$X$が最大になるのは$Y=0$のときであり，$$X\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}<1+{\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{2}}\mathrm{.}$$したがって全体の最大値は$$1+{\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{2}}$$である。