東京大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

2点$A,B$の座標を用いて直線$AB$の方程式を求める。$B$を通る直線として $$y+2t=m(x-{\displaystyle \frac{2}{3}}t)$$ とおく。これが点$A$を通るので $$-2+2t=m({\displaystyle \frac{2(t^2+t+1)}{3(t+1)}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}t)$$ である。括弧内を整理すると $${\displaystyle \frac{2}{3}}({\displaystyle \frac{t^2+t+1}{t+1}}-t)={\displaystyle \frac{2}{3(t+1)}}$$ であるから $m=3(t-1)(t+1)=3(t^2-1)$ を得る。したがって直線$AB$は $y=3(t^2-1)x-2t^3$ で表される。

固定した$x$に対して $$\varphi (t)=3(t^2-1)x-2t^3(0\leqq t\leqq 1)$$ とおく。微分すると ${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(t)=6t(x-t)$ である。 $x<0$のとき、$0<t\leqq 1$で$x-t<0$だから$\varphi (t)$は単調減少である。端点の値は $$\varphi (0)=-3x,\varphi (1)=-2$$ なので $-2\leqq y\leqq -3x$ である。 $0\leqq x\leqq 1$のとき、${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(t)$は$0<t<x$で正、$x<t<1$で負である。したがって最大値は$t=x$で $$\varphi (x)=3(x^2-1)x-2x^3=x^3-3x$$ である。最小値は端点の小さい方なので $$\min (-3x,-2)\leqq y\leqq x^3-3x$$ である。 $x>1$のとき、$0<t<1$で$x-t>0$だから$\varphi (t)$は単調増加である。よって $-3x\leqq y\leqq -2$ である。

以上より、直線$AB$の通りうる範囲は$$\{\begin{array}{ll}-2\leqq y\leqq -3x& (x<0),\\ \min (-3x,-2)\leqq y\leqq x^3-3x& (0\leqq x\leqq 1),\\ -3x\leqq y\leqq -2& (x>1)\end{array}$$で表される領域である。図示すると、左右では直線$y=-3x$と$y=-2$にはさまれ、中央$0\leqq x\leqq 1$では上側境界が曲線$y=x^3-3x$になる。

直線族 $y=3(t^2-1)x-2t^3$ の端点 $t=0,1$ の直線と、内部で現れる包絡線を求める。固定した $x$ に対する最小値と最大値を比較すれば、通過領域の上下の境界が得られる。

直線族を$$F(x,y,t)=y-3(t^2-1)x+2t^3=0$$とおく。

内部 $0<t<1$ で直線族が作る包絡線は$$F=0,{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }F}{\mathrm{\partial }t}}=6t(t-x)=0$$から求まる。$t>0$ では $t=x$ であり、これを $F=0$ に戻すと$$y=x^3-3x$$を得る。この枝が現れるのは $0\le x\le 1$ の範囲である。

一方、パラメータの端点から$$t=0:y=-3x,t=1:y=-2$$という2本の境界が出る。

どの境界が最も上にあるかを比較する。$$(x^3-3x)-(-3x)=x^3$$だから、$0\le x\le 1$ では包絡線が $y=-3x$ 以上にある。また$$(x^3-3x)-(-2)=(x-1{)}^2(x+2)\ge 0$$なので、この区間では包絡線が $y=-2$ 以上にある。

$x$ を固定したとき、連続関数$${\varphi }_x(t)=3(t^2-1)x-2t^3$$が取る値は、その最小値から最大値までのすべてである。端点の値は $-3x,-2$ であり、内部の停留値は $0\le x\le 1$ のときだけ $x^3-3x$ として現れる。

従って求める領域は$$\{\begin{array}{ll}-2\le y\le -3x& (x<0),\\ \min (-3x,-2)\le y\le x^3-3x& (0\le x\le 1),\\ -3x\le y\le -2& (x>1)\end{array}$$である。包絡線 $y=x^3-3x$ が中央区間の上側境界を作り、2本の端点直線がその他の境界を作る。