東京大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

$P=(x,y,z)$とする。まず$PA=PB$より $$(x-1{)}^2+y^2+z^2=x^2+(y-1{)}^2+z^2$$ である。整理すると $x=y$ を得る。

また$PC=PO$より $$x^2+y^2+(z-1{)}^2=x^2+y^2+z^2$$ であるから $$z={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。そこで $$P=(s,s,{\displaystyle \frac{1}{2}})$$ とおく。

残った条件$PA=rPO$を2乗して用いる。左辺は $$P{A}^2=(s-1{)}^2+s^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}=2s^2-2s+{\displaystyle \frac{5}{4}}$$ であり、右辺は $$r^{2}P{O}^2=r^2(2s^2+{\displaystyle \frac{1}{4}})$$ である。したがって $$2s^2-2s+{\displaystyle \frac{5}{4}}=r^2(2s^2+{\displaystyle \frac{1}{4}})$$ すなわち $$2(1-r^2)s^2-2s+{\displaystyle \frac{5-r^2}{4}}=0$$ である。

この方程式が$s$について相異なる2つの実数解をもてば、条件を満たす点$P$が2つ存在する。ただし$r=1$のときは2次の係数が0になり、方程式は1次式になるので2点は得られない。 $r\mathrm{\ne }1$として判別式を計算すると $$(-2{)}^2-4\cdot 2(1-r^2)\cdot {\displaystyle \frac{5-r^2}{4}}=-2r^4+12r^2-6$$ である。相異なる2実根をもつ条件は $-2r^4+12r^2-6>0$ であり、これは $r^4-6r^2+3<0$ と同値である。$R=r^2$とおくと $R^2-6R+3<0$ であるから $3-\sqrt{6}<r^2<3+\sqrt{6}$ を得る。さらに$r=1$は除く。

よって条件は $$3-\sqrt{6}<r^2<3+\sqrt{6},r\mathrm{\ne }1$$ である。このとき、2つの$s$は $$s={\displaystyle \frac{2\pm \sqrt{-2r^4+12r^2-6}}{4(1-r^2)}}$$ である。したがって2点の座標は$$({\displaystyle \frac{2+\sqrt{-2r^4+12r^2-6}}{4(1-r^2)}},{\displaystyle \frac{2+\sqrt{-2r^4+12r^2-6}}{4(1-r^2)}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$$および$$({\displaystyle \frac{2-\sqrt{-2r^4+12r^2-6}}{4(1-r^2)}},{\displaystyle \frac{2-\sqrt{-2r^4+12r^2-6}}{4(1-r^2)}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$$である。

距離条件 $PA=rPO$ を球として読み替え、残る $PA=PB,PC=PO$ を2平面の交線として処理する。球の中心から直線までの距離と半径を比較すれば、交点が2個になる条件を判別式なしで求められる。

座標を$$O=(0,0,0),A=(1,0,0),B=(0,1,0),C=(0,0,1)$$とし、$P=(x,y,z)$ とする。$$PA=PB$$から $x=y$、また$$PC=PO$$から $z={\displaystyle \frac{1}{2}}$ を得る。従って $P$ は直線$$L:P=(s,s,{\displaystyle \frac{1}{2}})$$上にある。

$r\mathrm{\ne }1$ とする。条件 $PA=rPO$ を2乗して整理すると$$(1-r^2)(x^2+y^2+z^2)-2x+1=0.$$これは中心$$Q=({\displaystyle \frac{1}{1-r^2}},0,0)$$半径$$R={\displaystyle \frac{r}{\mathrm{\mid }1-r^2\mathrm{\mid }}}$$の球である。

$Q$ から直線 $L$ に下ろした垂線の足を $H$ とする。$L$ 上の点までの距離の2乗$${(s-{\displaystyle \frac{1}{1-r^2}})}^2+s^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}$$を $s$ について平方完成すると$$H=({\displaystyle \frac{1}{2(1-r^2)}},{\displaystyle \frac{1}{2(1-r^2)}},{\displaystyle \frac{1}{2}}),Q{H}^2={\displaystyle \frac{1}{2(1-r^2{)}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$球と直線が異なる2点で交わる条件は $R^2>Q{H}^2$ である。従って$${\displaystyle \frac{r^2}{(1-r^2{)}^2}}>{\displaystyle \frac{1}{2(1-r^2{)}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$両辺を整理すると$$r^4-6r^2+3<0.$$$r>0$ だから$$\sqrt{3-\sqrt{6}}<r<\sqrt{3+\sqrt{6}}\mathrm{.}$$ただし $r=1$ のとき $PA=PO$ は平面 $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ となり、直線 $L$ との交点は1個だけなので除く。

よって求める範囲は$$\sqrt{3-\sqrt{6}}<r<1\text{または}1<r<\sqrt{3+\sqrt{6}}\mathrm{.}$$各交点の座標は、$P=(s,s,1\mathrm{/}2)$ を $PA=rPO$ に代入して得る2次方程式を解けば$$s={\displaystyle \frac{2\pm \sqrt{-2r^4+12r^2-6}}{4(1-r^2)}}$$となる。