東京大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
正三角形を、光線が当たる辺で次々に反射して平面を敷きつめる。すると、元の三角形内で反射しながら進む光線は、展開図の中では一直線として進む。

格子点を、辺$AB$の方向に$i$歩、${60}^{\circ }$方向に$j$歩進んだ点として表す。この点の座標は、辺の長さを1とすれば $(i+{\displaystyle \frac{j}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}j)$ である。したがって、原点$A$からこの格子点へ向かう直線の傾きは $${\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}j}{i+{\displaystyle \frac{j}{2}}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}j}{2i+j}}$$ である。

いま $$\tan \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}$$ なので $${\displaystyle \frac{\sqrt{3}j}{2i+j}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}$$ である。よって $4j=2i+j,2i=3j$ となる。最初に到達する格子点は、正の整数解のうち最小の $(i,j)=(3,2)$ である。

格子点の頂点ラベルは周期的に現れる。$(i,j)$に対して$i+2j$を3で割った余りが、0なら$A$、1なら$B$、2なら$C$に対応する。ここでは $$3+2\cdot 2=7\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$$ であるから、この格子点は元の三角形の頂点$B$に対応する。したがって光線は $B$ に到達する。

(2)
同様に $$\tan \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6k+2}}$$ であるから $${\displaystyle \frac{\sqrt{3}j}{2i+j}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6k+2}}$$ である。よって $(6k+2)j=2i+j$ すなわち $2i=(6k+1)j$ である。$6k+1$は奇数なので、最初の正の整数解は $(i,j)=(6k+1,2)$ である。

この格子点について $$i+2j=(6k+1)+4=6k+5\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$$ であるから、到達する頂点は $C$ である。

次に反射回数を数える。展開図では、反射回数は始点から到達点までの直線が途中で横切る三角格子の辺の本数に等しい。$(i,j)=(6k+1,2)$では、途中で格子点を通らないので、3方向の格子線について単純に数えればよい。

横切る本数は、$AB$方向に平行な格子線で$j-1$本、${60}^{\circ }$方向に平行な格子線で$i-1$本、残りの方向の格子線で$i+j-1$本である。したがって反射回数は $(j-1)+(i-1)+(i+j-1)$ である。$i=6k+1$, $j=2$を代入すると $$(2-1)+(6k+1-1)+(6k+1+2-1)=12k+3$$ である。よって反射回数は $12k+3$ である。

展開図の格子点を、2本の基本ベクトルに沿う整数座標 $(p,q)$ で表す。傾きから最初に到達する格子点を求め、頂点の種類は $p+2q$ の3での余りで判定する。反射回数は、線分が横切る3族の格子線 $p=\text{整数}$, $q=\text{整数}$, $p+q=\text{整数}$ を別々に数える。

一辺を1とし、展開図の格子点を$$(p,q)⟷(p+{\displaystyle \frac{q}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}q}{2}})$$と表す。原点 $A$ からこの点へ向かう直線の傾きは$${\displaystyle \frac{\sqrt{3}q}{2p+q}}$$である。

(1) $${\displaystyle \frac{\sqrt{3}q}{2p+q}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}$$より $2p=3q$ である。最小の正整数解は$$(p,q)=(3,2)$$である。格子点が元のどの頂点に重なるかは$$p+2q(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$$で決まり、余り $0,1,2$ がそれぞれ $A,B,C$ に対応する。ここでは$$p+2q=7\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$$なので、到達する頂点は $B$ である。

(2) $${\displaystyle \frac{\sqrt{3}q}{2p+q}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6k+2}}$$より$$2p=(6k+1)q\mathrm{.}$$$6k+1$ は奇数だから、最小の正整数解は$$(p,q)=(6k+1,2)$$である。このとき$$p+2q=6k+5\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$$なので、到達する頂点は $C$ である。

次に反射回数を数える。三角格子の辺は、格子座標では$$p=\text{整数},q=\text{整数},p+q=\text{整数}$$という3族に分かれる。始点と終点を除くと、線分が横切る本数はそれぞれ$$p-1,q-1,p+q-1$$である。本問では $\gcd (p,q)=1$ で、途中の格子点を通らないため重複はない。

従って反射回数は$$(p-1)+(q-1)+(p+q-1)$$である。$p=6k+1,q=2$ を代入して$$12k+3$$を得る。