東京大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

円 $C$ 上の点を $$(1,0)+(u,v),u^2+v^2={\displaystyle \frac{1}{9}}$$ と表す。この点の $f$ による像は $(a,b)+(au-bv,bu+av)$ である。ここで $$(au-bv{)}^2+(bu+av{)}^2=(a^2+b^2)(u^2+v^2)$$ だから，$f(C)$ は中心 $(a,b)$，半径 ${\displaystyle \frac{1}{3}}\sqrt{a^2+b^2}$ の円である。

この円が直線 $x=2\mathrm{/}3$ に接する条件は，中心から直線までの距離が半径に等しいこと，すなわち $$\mid a-{\displaystyle \frac{2}{3}}\mid ={\displaystyle \frac{1}{3}}\sqrt{a^2+b^2}$$ である。両辺を2乗すると $$9{(a-{\displaystyle \frac{2}{3}})}^2=a^2+b^2$$ であり，整理して $b^2=4(2a-1)(a-1)$ を得る。

次に，円全体が $D=\{(x,y)\mid x>0\}$ に含まれる条件を考える。円の最も左の点の $x$ 座標は $a-{\displaystyle \frac{1}{3}}\sqrt{a^2+b^2}$ であるから，必要十分条件は $$a-{\displaystyle \frac{1}{3}}\sqrt{a^2+b^2}>0$$ である。接条件のもとでは $${\displaystyle \frac{1}{3}}\sqrt{a^2+b^2}=\mathrm{\mid }a-2\mathrm{/}3\mathrm{\mid }$$ なので，これは $$a>\mid a-{\displaystyle \frac{2}{3}}\mid$$ と同値である。

この不等式を解く。$a\geqq 2\mathrm{/}3$ のときは常に成り立つが，曲線 $b^2=4(2a-1)(a-1)$ 上に実点があるためには $(2a-1)(a-1)\geqq 0$ が必要なので，この場合は $a\geqq 1$ である。$a<2\mathrm{/}3$ のときは $a>{\displaystyle \frac{2}{3}}-a$ より $a>{\displaystyle \frac{1}{3}}$ であり，曲線上に実点がある条件と合わせて ${\displaystyle \frac{1}{3}}<a\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$ となる。

したがって求める図形は，$ab$ 平面上の曲線 $b^2=4(2a-1)(a-1)$ のうち $${\displaystyle \frac{1}{3}}<a\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}\text{または}a\geqq 1$$ を満たす部分である。図示すると，左側の枝は $a=1\mathrm{/}3$ の二点を含まず $a=1\mathrm{/}2$ の点 $(1\mathrm{/}2,0)$ を含む部分，右側の枝は $(1,0)$ を含んで $a$ 正方向へ伸びる二つの枝である。

像の円の中心を$(a,b)$，半径を$\rho \mathrm{/}3$とおく。接する直線が中心の左側にある場合と右側にある場合に分けると，半平面$x>0$に入る条件を幾何的に処理できる。各場合で接条件の曲線に実点がある範囲を重ね，端点の開閉を決める。

原点から$(a,b)$までの距離を$$\rho =\sqrt{a^2+b^2}$$とおく。与えられた1次変換は長さを$\rho$倍する相似変換なので，$f(C)$は中心$(a,b)$，半径$\rho \mathrm{/}3$の円である。

直線$x=2\mathrm{/}3$への接条件は$${\displaystyle \frac{\rho }{3}}=\mid a-{\displaystyle \frac{2}{3}}\mid \mathrm{.}$$したがって$$a^2+b^2=9{(a-{\displaystyle \frac{2}{3}})}^2,$$すなわち$$\begin{array}{cccc}& b^2=4(2a-1)(a-1)& & \text{(1)}\end{array}$$である。

まず$a<2\mathrm{/}3$とする。このとき接線は中心の右側にあり，半径は$2\mathrm{/}3-a$である。円の左端が正である条件は$$a-({\displaystyle \frac{2}{3}}-a)>0,$$したがって$$a>{\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}$$一方，(1)が実点をもつ条件は$a\leqq 1\mathrm{/}2$または$a\geqq 1$だから，この場合は$${\displaystyle \frac{1}{3}}<a\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$次に$a\geqq 2\mathrm{/}3$とする。半径は$a-2\mathrm{/}3$であり，円の左端は$$a-(a-{\displaystyle \frac{2}{3}})={\displaystyle \frac{2}{3}}>0$$なので半平面の条件は自動的に満たす。(1)が実点をもつ条件を合わせると$$a\geqq 1.$$よって求める図形は$$b^2=4(2a-1)(a-1)$$のうち$${\displaystyle \frac{1}{3}}<a\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}\text{または}a\geqq 1$$を満たす部分である。$a=1\mathrm{/}3$上の2点は含まず，$(1\mathrm{/}2,0)$と$(1,0)$は含む。