東京大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1)

楕円 $C$ 上の点は$$x=\sqrt{\alpha }\cos \theta ,y=\sqrt{\beta }+\sqrt{\beta }\sin \theta =\sqrt{\beta }(1+\sin \theta )$$と表せる。$u=\sin \theta$ とおくと $-1\leqq u\leqq 1$ であり，$$x^2+y^2=\alpha (1-u^2)+\beta (1+u{)}^2$$ である。したがって $C$ が $D$ に含まれる条件は $\alpha (1-u^2)+\beta (1+u{)}^2\leqq 1$ がすべての $-1\leqq u\leqq 1$ で成り立つことである。

ここで $$g(u)=\alpha (1-u^2)+\beta (1+u{)}^2$$ とおく。展開すると $$g(u)=\alpha +\beta +2\beta u+(\beta -\alpha )u^2$$ である。

まず $\alpha \leqq 2\beta$ の場合を考える。$\alpha \leqq \beta$ なら $g(u)$ は下に凸または一次式であり，最大は端点で生じる。$\beta <\alpha \leqq 2\beta$ なら $g(u)$ の二次の係数は負で，頂点の $u$ 座標 ${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha -\beta }}$ が $1$ 以上なので，$[-1,1]$ では $u=1$ で最大となる。いずれにしても最大値は $g(1)=4\beta$ である。よってこの場合の条件は $4\beta \leqq 1$ すなわち $\beta \leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}$ である。

次に $\alpha >2\beta$ の場合を考える。このとき $g(u)$ の二次の係数は負で，頂点 $$u={\displaystyle \frac{\beta }{\alpha -\beta }}$$ は $0<u<1$ を満たす。したがって最大値は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle g\left({\displaystyle \frac{\beta }{\alpha -\beta }}\right)}& {\displaystyle =\alpha +\beta +{\displaystyle \frac{{\beta }^2}{\alpha -\beta }}}\end{array}$$である。よって条件は $\alpha +\beta +{\displaystyle \frac{{\beta }^2}{\alpha -\beta }}\leqq 1$ である。$\alpha -\beta >0$ だから，両辺に $\alpha -\beta$ を掛けて整理すると $${\alpha }^2\leqq \alpha -\beta$$ すなわち $$\beta \leqq \alpha (1-\alpha )$$ となる。

これらを $\alpha ,\beta$ 平面で整理する。$0<\alpha \leqq 1\mathrm{/}2$ では，$\beta \geqq \alpha \mathrm{/}2$ の部分は最初の場合に含まれ，$\beta <\alpha \mathrm{/}2$ の部分では $$\alpha (1-\alpha )\geqq {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$$ なので二番目の場合の条件も自動的に満たされる。したがって $$0<\alpha \leqq {\displaystyle \frac{1}{2}},0<\beta \leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}$$ が得られる。

一方，$\alpha >1\mathrm{/}2$ では，許されるのは $$0<\beta \leqq \alpha (1-\alpha )$$ の部分であり，右辺が正であるために $\alpha <1$ が必要である。

したがって求める範囲は $$0<\alpha \leqq {\displaystyle \frac{1}{2}},0<\beta \leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}$$ または $${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq \alpha <1,0<\beta \leqq \alpha (1-\alpha )$$ である。図示すると，$0<\alpha \leqq 1\mathrm{/}2$ では高さ $1\mathrm{/}4$ までの長方形部分，$1\mathrm{/}2\leqq \alpha <1$ では放物線 $\beta =\alpha (1-\alpha )$ の下側部分である。

(2)

楕円 $C$ の半径方向の長さは $x$ 方向が $\sqrt{\alpha }$，$y$ 方向が $\sqrt{\beta }$ なので，面積は $\pi \sqrt{\alpha \beta }$ である。したがって $\alpha \beta$ の最大値を求めればよい。

まず $$0<\alpha \leqq {\displaystyle \frac{1}{2}},0<\beta \leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}$$ の部分では $$\alpha \beta \leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{8}}$$ である。

次に $${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq \alpha <1,0<\beta \leqq \alpha (1-\alpha )$$ の部分では $$\alpha \beta \leqq {\alpha }^2(1-\alpha )$$ である。ここで $$h(\alpha )={\alpha }^2(1-\alpha )$$ とおくと $$h^{\mathrm{\prime }}(\alpha )=2\alpha (1-\alpha )-{\alpha }^2=\alpha (2-3\alpha )$$ である。$1\mathrm{/}2\leqq \alpha <1$ で最大となるのは $\alpha ={\displaystyle \frac{2}{3}}$ のときであり，$$h\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)={\displaystyle \frac{4}{9}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{4}{27}}$$ である。これは ${\displaystyle \frac{4}{27}}>{\displaystyle \frac{1}{8}}$ を満たす。

したがって $\alpha \beta$ の最大値は $4\mathrm{/}27$ であり，楕円の面積の最大値は $$\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{4}{27}}}={\displaystyle \frac{2\pi }{3\sqrt{3}}}$$ である。

許容領域の上側境界では，楕円と単位円が接する。接点が楕円の最上点である場合と，$x\mathrm{\ne }0$の内部接点である場合を分ける。後者では2曲線の法線が平行になる条件から接点を消去し，境界$\beta =\alpha (1-\alpha )$を得る。

(1)

楕円の最上点は$$(0,2\sqrt{\beta })$$であるから，$C\subset D$なら必ず$$\begin{array}{cccc}& 4\beta \leqq 1.& & \text{(1)}\end{array}$$許容領域の上側境界では，楕円$C$と単位円$x^2+y^2=1$が接する。

接点が最上点なら(1)で等号が成り立ち，$$\beta ={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$この境界が許されるのは$0<\alpha \leqq 1\mathrm{/}2$の範囲である。実際，この範囲で$\beta \leqq 1\mathrm{/}4$なら，楕円上の点を$$x=\sqrt{\alpha }\cos \theta ,y=\sqrt{\beta }(1+\sin \theta )$$と表し，$u=\sin \theta$とおくことにより$$\begin{array}{rl}{\displaystyle x^2+y^2}& {\displaystyle =\alpha (1-u^2)+\beta (1+u{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}(1-u^2)+{\displaystyle \frac{1}{4}}(1+u{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-{\displaystyle \frac{1}{4}}(1-u{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \leqq 1}\end{array}$$となる。

次に$x\mathrm{\ne }0$の接点を考える。楕円と円の法線が平行だから，ある$\lambda$について$$({\displaystyle \frac{x}{\alpha }},{\displaystyle \frac{y-\sqrt{\beta }}{\beta }})=\lambda (x,y)$$である。$x\mathrm{\ne }0$より$\lambda =1\mathrm{/}\alpha$であり，$$y={\displaystyle \frac{\alpha \sqrt{\beta }}{\alpha -\beta }}\mathrm{.}$$これを楕円と円の両方の式へ代入して消去すると$${\displaystyle \frac{{\alpha }^2}{\alpha -\beta }}=1,$$すなわち$$\beta =\alpha (1-\alpha )\mathrm{.}$$この接点が最上点以外にある条件は$\alpha >1\mathrm{/}2$である。よって許容範囲は$$\{\begin{array}{l}0<\alpha \leqq {\displaystyle \frac{1}{2}},0<\beta \leqq {\displaystyle \frac{1}{4}},\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq \alpha <1,0<\beta \leqq \alpha (1-\alpha )\mathrm{.}\end{array}$$(2)

楕円の面積は$$\pi \sqrt{\alpha \beta }$$である。前半の長方形領域では$$\alpha \beta \leqq {\displaystyle \frac{1}{8}}\mathrm{.}$$後半では$$\alpha \beta \leqq {\alpha }^2(1-\alpha )\mathrm{.}$$$${\displaystyle \frac{d}{d\alpha }}\{{\alpha }^2(1-\alpha )\}=\alpha (2-3\alpha )$$より，最大は$$\alpha ={\displaystyle \frac{2}{3}},\beta ={\displaystyle \frac{2}{9}}$$で達し，$$\alpha \beta ={\displaystyle \frac{4}{27}}>{\displaystyle \frac{1}{8}}\mathrm{.}$$したがって面積の最大値は$$\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{4}{27}}}={\displaystyle \frac{2\pi }{3\sqrt{3}}}\mathrm{.}$$