東京大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

時刻 $t$ に水面は $z=f(t)$ まで上昇している。容器の断面積は $\pi R^2$ だから，水面上昇によって増えた水面下の体積は $\pi R^{2}f(t)$ である。

一方，回転体は毎秒1の速さで下に動くので，時刻 $t$ では移動前の高さ $z$ にあった点が高さ $z-t$ に移っている。この点が水面下にある条件は $z-t\leqq f(t)$ すなわち $z\leqq t+f(t)$ である。回転体はもともと $z\geqq 0$ にあるので，時刻 $t$ に水面下に入っている部分は，移動前の高さで $0\leqq z\leqq t+f(t)$ にあたる部分である。

高さ $z$ における回転体の断面積は $\pi r(z{)}^2$ である。したがって押しのけた体積は$$\pi {\int }_0^{t+f(t)}r(z{)}^{2}dz$$であり，体積のつり合いから$${\int }_0^{t+f(t)}r(z{)}^{2}dz=R^{2}f(t)$$が成り立つ。

ここで $f(t)=e^t-t-1$ だから $t+f(t)=e^t-1$ である。$u=e^t-1$ とおくと $t=\log (1+u)$ であり，$f(t)=u-\log (1+u)$ となる。したがってすべての$u\geqq 0$について$${\int }_0^{u}r(z{)}^{2}dz=R^2\{u-\log (1+u)\}$$である。

両辺を $u$ で微分すると，連続性より $$r(u{)}^2=R^2(1-{\displaystyle \frac{1}{1+u}})=R^2{\displaystyle \frac{u}{1+u}}$$ を得る。$r(u)\geqq 0$ であるから $$r(u)=R\sqrt{{\displaystyle \frac{u}{1+u}}}$$ である。文字を $z$ に戻すと $$r(z)=R\sqrt{{\displaystyle \frac{z}{1+z}}}(z\geqq 0)$$ となる。

この関数は $r(0)=0$ を満たし，$z\geqq 0$ で $$0\leqq {\displaystyle \frac{z}{1+z}}<1$$ だから $0\leqq r(z)<R$ も満たす。よってこれが求める関数である。

水面上昇量と沈んだ回転体の体積の等式を立てた後，置換をせず時刻$t$で直接微分する。積分の上端$e^t-1$の微分を忘れずに連鎖律を使い，最後に$z=e^t-1$と読み替える。

時刻$t$に水面下へ入っている回転体は，移動前の高さで$$0\leqq z\leqq t+f(t)$$にあった部分である。したがって体積保存より$$\pi {\int }_0^{t+f(t)}r(z{)}^{2}dz=\pi R^{2}f(t)\mathrm{.}$$$f(t)=e^t-t-1$を代入すると$$\begin{array}{cccc}& {\int }_0^{e^t-1}r(z{)}^{2}dz=R^2(e^t-t-1)\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$両辺を$t$で微分する。$r$は連続であるから，積分の上端の微分も含めて$$r(e^t-1{)}^2{e}^t=R^2(e^t-1)\mathrm{.}$$ここで$$z=e^t-1$$とおけば$e^t=1+z$である。$t\geqq 0$が動くと$z\geqq 0$をすべて動くので，$$r(z{)}^2(1+z)=R^{2}z(z\geqq 0)\mathrm{.}$$$r(z)\geqq 0$より$$r(z)=R\sqrt{{\displaystyle \frac{z}{1+z}}}(z\geqq 0)\mathrm{.}$$実際，$$r(0)=0,0\leqq {\displaystyle \frac{z}{1+z}}<1$$なので，問題の条件$$0\leqq r(z)<R$$も満たす。