東京大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $\mathrm{\angle }O$ が鋭角である条件は $$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}>0$$ である。ここで $$\overrightarrow{OP}=(1,0)$$, $$\overrightarrow{OQ}=(a,b)$$ だから $a>0$ である。

次に $\mathrm{\angle }P$ が鋭角である条件は $$\overrightarrow{PO}\cdot \overrightarrow{PQ}>0$$ である。$$\overrightarrow{PO}=(-1,0)$$, $$\overrightarrow{PQ}=(a-1,b)$$ より $1-a>0$ すなわち $a<1$ である。

最後に $\mathrm{\angle }Q$ が鋭角である条件は $$\overrightarrow{QO}\cdot \overrightarrow{QP}>0$$ である。$$\overrightarrow{QO}=(-a,-b)$$, $$\overrightarrow{QP}=(1-a,-b)$$ だから $-a(1-a)+b^2>0$ すなわち $b^2>a(1-a)$ である。

以上より求める条件は $$0<a<1,b^2>a(1-a)$$ である。さらに $$a(1-a)={\displaystyle \frac{1}{4}}-{(a-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2$$ なので、境界は $${(a-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+b^2={\displaystyle \frac{1}{4}}$$ である。したがって図示すべき範囲は、縦帯 $0<a<1$ の中で、この円の外側にある部分である。境界はすべて含まない。なおこの条件では自動的に $b\mathrm{\ne }0$ である。

(2)
まず $n=0$ のとき、左辺は $m^2-m=m(m-1)$ である。整数 $m$ について、連続する2整数の積 $m(m-1)$ は0以上であるから、この場合は成り立つ。

以下 $n\mathrm{\ne }0$ とする。(1)より $b^2>a(1-a)$ であるから、$n^2>0$ に注意して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle (m+na{)}^2-(m+na)+n^2{b}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle >(m+na{)}^2-(m+na)+n^{2}a(1-a)}\end{array}$$である。右辺を整理すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle (m+na{)}^2-(m+na)+n^{2}a(1-a)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =m^2+2mna+n^2{a}^2-m-na+n^{2}a-n^2{a}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =m(m-1)+an(2m+n-1)}\end{array}$$となる。

この式を $L(a)$ とおくと、$L(a)$ は $a$ の一次式である。端点での値は $L(0)=m(m-1)$ および $$L(1)=m(m-1)+n(2m+n-1)=(m+n)(m+n-1)$$ である。$m$, $m+n$ は整数なので、どちらも連続する2整数の積であり0以上である。 $0<a<1$ では、一次式 $L(a)$ の値は $L(0)$ と $L(1)$ の間にある。したがって $L(a)\geqq 0$ である。よって $$(m+na{)}^2-(m+na)+n^2{b}^2>L(a)\geqq 0$$ となり、特に $(m+na{)}^2-(m+na)+n^2{b}^2\geqq 0$ が成り立つ。

(1) は3辺の平方に対する鋭角条件から求める。(2) の左辺から $n^{2}a(1-a)$ を差し引き、残りを2つの連続整数の積の凸結合として一度に表す。

(1) $$O{P}^2=1,O{Q}^2=a^2+b^2,P{Q}^2=(1-a{)}^2+b^2$$である。三角形が鋭角三角形であるための条件は、各辺の平方が他の2辺の平方の和より小さいことである。

$P{Q}^2<O{P}^2+O{Q}^2$ から $a>0$、$O{Q}^2<O{P}^2+P{Q}^2$ から $a<1$ を得る。また$$O{P}^2<O{Q}^2+P{Q}^2$$を整理すると$$b^2>a(1-a)$$となる。従って$$0<a<1,b^2>a(1-a)\mathrm{.}$$境界 $b^2=a(1-a)$ は$${(a-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+b^2={\displaystyle \frac{1}{4}}$$であるから、求める範囲は $0<a<1$ の縦帯のうち、この円の外側である。境界は含まない。

(2) $$E=(m+na{)}^2-(m+na)+n^2{b}^2$$とおく。(1) の条件から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E}& {\displaystyle \geqq (m+na{)}^2-(m+na)+n^{2}a(1-a)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1-a)m(m-1)+a(m+n)(m+n-1)}\end{array}$$である。最後の等号は展開すれば確かめられる。

整数 $r$ に対して $r(r-1)\geqq 0$ である。従って$$m(m-1)\geqq 0,(m+n)(m+n-1)\geqq 0.$$しかも $0<a<1$ なので、右辺はこの2つの非負数の凸結合であり非負である。よって$$(m+na{)}^2-(m+na)+n^2{b}^2\geqq 0$$が成り立つ。