東京大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1)
3次曲線$$y={\displaystyle \frac{8}{27}}{x}^3$$の $x=t$ における接線は$$y={\displaystyle \frac{8}{9}}{t}^{2}x-{\displaystyle \frac{16}{27}}{t}^3$$である。

一方、放物線を $X=x+a$ と書くと $y=X^2$ である。$X=u$ における接線は$$y=2u(x+a)-u^2=2ux+2au-u^2\mathrm{.}$$両者が同じ直線になるには、傾きの比較から$$u={\displaystyle \frac{4}{9}}{t}^2$$であり、切片の比較から$$2au-u^2=-{\displaystyle \frac{16}{27}}{t}^3$$でなければならない。$u=4t^2\mathrm{/}9$ を代入すると$${\displaystyle \frac{8}{81}}{t}^2(9a+6t-2t^2)=0.$$$t=0$ は常に $x$ 軸を表す。$x$ 軸以外では $t\mathrm{\ne }0$ なので$$\begin{array}{cccc}& 2t^2-6t-9a=0& & \text{(1)}\end{array}$$を得る。従って、$x$ 軸以外の異なる共通接線が2本ある条件は、(1) が相異なる2つの非零実数解をもつことである。

判別式は$$36+72a=36(1+2a)$$だから $a>-1\mathrm{/}2$ が必要である。また解の積は $-9a\mathrm{/}2$ なので、$a=0$ では一方が0になり、$x$ 軸以外の接線は1本しかない。従って$$a>-{\displaystyle \frac{1}{2}},a\mathrm{\ne }0$$である。

(2)
(1) の2根を $t_1,t_2$ とし、対応する放物線上の接点を $u_1,u_2$ とする。$$t_1+t_2=3,\mathrm{\mid }{t}_1-t_2\mathrm{\mid }=3\sqrt{1+2a}$$であり、$u_i=4t_i^2\mathrm{/}9$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }{u}_1-u_2\mathrm{\mid }}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4}{9}}\mathrm{\mid }{t}_1-t_2\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }{t}_1+t_2\mathrm{\mid }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4\sqrt{1+2a}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで一般に、放物線 $y=X^2$ の2接点の間隔を $d$ とする。接点の中点を原点へ平行移動すると、放物線と2本の接線の差を左右に積分でき、囲まれる面積は$$2{\int }_0^{d\mathrm{/}2}{w}^{2}dw={\displaystyle \frac{d^3}{12}}$$となる。従って本問では$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(4\sqrt{1+2a}{)}^3}{12}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{16}{3}}(1+2a{)}^{3\mathrm{/}2}\mathrm{.}}\end{array}$$

3次曲線の $x$ 軸以外の接線を、傾きが $2z^2$ となるようにパラメータ $z$ で表す。この直線が放物線にも接する条件は、交点方程式の判別式を0とするだけで得られる。放物線上の接点座標は $X=z^2$ なので、2接点の間隔から面積を計算する。

(1)
$z\mathrm{\ne }0$ とする。3次曲線$$y={\displaystyle \frac{8}{27}}{x}^3$$の $x=3z\mathrm{/}2$ における接線は$$y=2z^{2}x-2z^3$$である。逆に、$x$ 軸以外の接線はこの形で一意に表せる。

この直線と放物線 $y=(x+a{)}^2$ の交点方程式は$$(x+a{)}^2=2z^{2}x-2z^3$$である。放物線に接する条件は、この $x$ の2次方程式の判別式が0となることである。計算すると$$4z^2(z^2-2z-2a)=0.$$$z\mathrm{\ne }0$ だから$$z^2-2z-2a=0$$を得る。

$x$ 軸以外の異なる共通接線が2本あるためには、この方程式が相異なる2つの非零実数解をもてばよい。判別式から$$4+8a>0,$$すなわち $a>-1\mathrm{/}2$ が必要である。また積 $-2a$ が0になる $a=0$ では一方の解が $z=0$ となるので除く。従って$$a>-{\displaystyle \frac{1}{2}},a\mathrm{\ne }0$$である。

(2)
2根を $z_1,z_2$ とする。放物線を$$X=x+a,y=X^2$$と書くと、接線の傾きは $2z_i^2$ だから、放物線上の接点の $X$ 座標は$$X_i=z_i^2$$である。

解と係数の関係から$$z_1+z_2=2,\mathrm{\mid }{z}_1-z_2\mathrm{\mid }=2\sqrt{1+2a}\mathrm{.}$$従って2接点の間隔は$$d=\mathrm{\mid }{X}_1-X_2\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{z}_1-z_2\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }{z}_1+z_2\mathrm{\mid }=4\sqrt{1+2a}\mathrm{.}$$標準放物線 $y=X^2$ と、間隔 $d$ の2接点における接線で囲まれる面積は$${\displaystyle \frac{d^3}{12}}$$である。これは接点の中点を原点へ移し、左右の部分を積分すれば直ちに確かめられる。従って$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(4\sqrt{1+2a}{)}^3}{12}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{16}{3}}(1+2a{)}^{3\mathrm{/}2}\mathrm{.}}\end{array}$$