東京大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

$u=x^2$とおく。領域が存在するためには $x^2(1-x^2)-a\geqq 0$ すなわち $u(1-u)-a\geqq 0$ である。方程式$u(1-u)-a=0$は $u^2-u+a=0$ であり、$$0<a<{\displaystyle \frac{1}{4}}$$より2つの解をもつ。その解は $$\alpha ={\displaystyle \frac{1-\sqrt{1-4a}}{2}},\beta ={\displaystyle \frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}}$$ である。したがって右半分では $$\sqrt{\alpha }\leqq x\leqq \sqrt{\beta }$$ が積分範囲になる。 $y$軸のまわりに回転するので、右半分を円筒殻で積分する。半径は$x$、高さは $2\sqrt{x^2(1-x^2)-a}$ であるから、体積$V$は$$V={\int }_{\sqrt{\alpha }}^{\sqrt{\beta }}2\pi x\cdot 2\sqrt{x^2(1-x^2)-a}dx$$すなわち $$V=4\pi {\int }_{\sqrt{\alpha }}^{\sqrt{\beta }}x\sqrt{x^2(1-x^2)-a}dx$$ である。

ここで$u=x^2$とおくと、$du=2xdx$である。したがって $$V=2\pi {\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{u(1-u)-a}du$$ となる。

被積分関数の中を平方完成すると $$u(1-u)-a={\displaystyle \frac{1}{4}}-a-{(u-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2$$ である。よって積分 $${\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{u(1-u)-a}du$$ は、半径 $\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}}-a}$ の半円の面積に等しい。したがって$${\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{u(1-u)-a}du={\displaystyle \frac{\pi }{2}}({\displaystyle \frac{1}{4}}-a)$$である。ゆえに$$V=2\pi \cdot {\displaystyle \frac{\pi }{2}}({\displaystyle \frac{1}{4}}-a)={\pi }^2({\displaystyle \frac{1}{4}}-a)$$である。

$y$ を固定して不等式を $u=x^2$ の範囲に直す。$y$ 軸まわりに回転すると、その範囲は内半径と外半径をもつ円環になる。円環の面積を $y$ で積分し、半円の面積公式で体積を求める。

$$R^2={\displaystyle \frac{1}{4}}-a$$とおく。$0<a<1\mathrm{/}4$ より $R>0$ である。

$y$ を固定し、$u=x^2$ とおくと、与えられた不等式は$$y^2\le u(1-u)-a$$である。平方完成して$${(u-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2\le R^2-y^2$$となる。従って断面が存在するのは $\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\le R$ のときで、そのとき$${\displaystyle \frac{1}{2}}-\sqrt{R^2-y^2}\le x^2\le {\displaystyle \frac{1}{2}}+\sqrt{R^2-y^2}\mathrm{.}$$これを $y$ 軸のまわりに回転すると、外半径の2乗と内半径の2乗の差は$$2\sqrt{R^2-y^2}$$である。従って高さ $y$ における円環の面積は$$2\pi \sqrt{R^2-y^2}\mathrm{.}$$よって体積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle ={\int }_{-R}^{R}2\pi \sqrt{R^2-y^2}dy}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\pi \cdot {\displaystyle \frac{\pi R^2}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\pi }^2{R}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\pi }^2({\displaystyle \frac{1}{4}}-a)\mathrm{.}}\end{array}$$途中の積分は、半径 $R$ の半円の面積に等しい。