東京大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3a{x}^2+2bx+c,g^{\mathrm{\prime }}(x)=3p{x}^2+2qx+r$$ である。条件 $f^{\mathrm{\prime }}(0)=g^{\mathrm{\prime }}(0)$ より $c=r$ である。

まず $f$ について条件を使う。$f(-1)=-1$ より $-a+b-c=-1$ であり、$f^{\mathrm{\prime }}(-1)=0$ より $3a-2b+c=0$ である。この2式を解くと $a=c-2,b=2c-3$ である。

次に $g$ について、$g(1)=3$ より $p+q+c=3$ であり、$g^{\mathrm{\prime }}(1)=0$ より $3p+2q+c=0$ である。この2式を解くと $p=c-6,q=9-2c$ である。

したがって $$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6ax+2b=6(c-2)x+2(2c-3)$$ であり、$$g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6px+2q=6(c-6)x+2(9-2c)$$ である。

ここで積分値を $I(c)$ とおく。まず$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-1}^0\{f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x){\}}^{2}dx}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^0\{6(c-2)x+2(2c-3){\}}^{2}dx}\end{array}$$であり、同様に $g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ も展開して積分すると $I(c)=8c^2-48c+120$ となる。平方完成して $I(c)=8(c-3{)}^2+48$ である。したがって最小となるのは $c=3$ のときである。

このとき $$a=1,b=3,c=3$$ であり、$$p=-3,q=3,r=3$$ である。よって求める関数は $${\displaystyle f(x)=x^3+3x^2+3x}$$ および $${\displaystyle g(x)=-3x^3+3x^2+3x}$$ である。

積分値は1変数の放物線

条件から全係数を $c$ で表した後、二階導関数を $c=3$ の部分と $(c-3)$ の部分に分ける。交差項が消えることを使えば積分値を展開せず平方完成できる。

条件を解くと$$a=c-2,b=2c-3,p=c-6,q=9-2c,r=c\mathrm{.}$$$h=c-3$ とおけば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =6(x+1)+h(6x+4),}\\ {\displaystyle g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =6(1-3x)+h(6x-4)\mathrm{.}}\end{array}$$ここで交差項の係数は$${\int }_{-1}^{0}6(x+1)(6x+4)dx+{\int }_0^{1}6(1-3x)(6x-4)dx=0.$$また$${\int }_{-1}^0(6x+4{)}^{2}dx+{\int }_0^1(6x-4{)}^{2}dx=8$$であり、$h=0$ のときの二乗積分は48である。よって$$I(c)=48+8h^2=48+8(c-3{)}^2\mathrm{.}$$最小は $c=3$ で生じる。このとき$$(a,b,c)=(1,3,3),(p,q,r)=(-3,3,3)$$だから$$f(x)=x^3+3x^2+3x,g(x)=-3x^3+3x^2+3x\mathrm{.}$$