東京大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

点Qを $$Q=(x,{\displaystyle \frac{x^2}{x^2+1}})$$ とおく。$Q\mathrm{\ne }O$ なので $x\mathrm{\ne }0$ である。

曲線 $$y={\displaystyle \frac{x^2}{x^2+1}}$$ を微分すると $$y^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{2x(x^2+1)-x^2\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{2x}{(x^2+1{)}^2}}$$ である。したがってQにおける接線の傾きは ${\displaystyle \frac{2x}{(x^2+1{)}^2}}$ である。

一方、$P=(0,a)$ とQを結ぶ直線の傾きは ${\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{x^2}{x^2+1}}-a}{x}}$ である。直交条件より、2つの傾きの積は $-1$ であるから $${\displaystyle \frac{2x}{(x^2+1{)}^2}}\cdot {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{x^2}{x^2+1}}-a}{x}}=-1$$ である。$x\mathrm{\ne }0$ なので整理して $$a={\displaystyle \frac{x^2}{x^2+1}}+{\displaystyle \frac{(x^2+1{)}^2}{2}}$$ を得る。

ここで $u=x^2$ とおくと、$u>0$ であり $$a=A(u)={\displaystyle \frac{u}{u+1}}+{\displaystyle \frac{(u+1{)}^2}{2}}$$ である。これを1つの分数にすれば $$A(u)={\displaystyle \frac{u^3+3u^2+5u+1}{2(u+1)}}$$ である。

まず$$A(u)-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{u}{u+1}}+{\displaystyle \frac{(u+1{)}^2-1}{2}}={\displaystyle \frac{u(u^2+3u+4)}{2(u+1)}}>0$$である。また $$A^{\mathrm{\prime }}(u)={\displaystyle \frac{1}{(u+1{)}^2}}+(u+1)={\displaystyle \frac{(u+2)(u^2+u+1)}{(u+1{)}^2}}>0$$ であるから、$A(u)$ は $u>0$ で増加する。さらに $$\underset{u\to +0}{\lim }A(u)={\displaystyle \frac{1}{2}},\underset{u\to \mathrm{\infty }}{\lim }A(u)=\mathrm{\infty }$$ である。

したがって、条件を満たす $Q\mathrm{\ne }O$ が存在するためのaの範囲は $${\displaystyle a>{\displaystyle \frac{1}{2}}}$$ である。$a=1\mathrm{/}2$ は $u=0$、すなわち $Q=O$ に対応する極限値であり、問題では $Q=O$ が除かれているため含まれない。

法線の $y$ 切片が $a$

接線と直交する直線、すなわち法線を点 $Q$ から直接引き、その $y$ 切片を $a$ として値域を調べる。

点$$Q=(x,{\displaystyle \frac{x^2}{x^2+1}}),x\mathrm{\ne }0$$における接線の傾きは$$m={\displaystyle \frac{2x}{(x^2+1{)}^2}}\mathrm{.}$$法線は$$Y-{\displaystyle \frac{x^2}{x^2+1}}=-{\displaystyle \frac{(x^2+1{)}^2}{2x}}(X-x)$$である。$X=0$ のとき $Y=a$ だから$$a={\displaystyle \frac{x^2}{x^2+1}}+{\displaystyle \frac{(x^2+1{)}^2}{2}}\mathrm{.}$$$u=x^2>0$ とおくと$$A(u)={\displaystyle \frac{u}{u+1}}+{\displaystyle \frac{(u+1{)}^2}{2}}\mathrm{.}$$$$A^{\mathrm{\prime }}(u)={\displaystyle \frac{1}{(u+1{)}^2}}+u+1>0$$なので $A$ は単調増加し、$$\underset{u\to 0+0}{\lim }A(u)={\displaystyle \frac{1}{2}},\underset{u\to \mathrm{\infty }}{\lim }A(u)=\mathrm{\infty }\mathrm{.}$$従って必要十分条件は$$a>{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$