東京大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

直線 $l:y=x-c$ を考える。放物線 $A:y=x^2$ 上の点 $(x,x^2)$ について、直線 $l$ を $x-y-c=0$ と書けば、この点から $l$ までの距離は $${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }x-x^2-c\mathrm{\mid }}{\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{x^2-x+c}{\sqrt{2}}}$$ である。ここで $$x^2-x+c={(x-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+c-{\displaystyle \frac{1}{4}}$$ であり、$c>1\mathrm{/}4$ だから $x^2-x+c>0$ である。したがって、放物線 $A$ は直線 $l$ と交わらず、常に同じ側にある。

この距離の最小値は $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ のときであり、$$\underset{P\in A}{\min }\mathrm{dist}(P,l)={\displaystyle \frac{c-{\displaystyle \frac{1}{4}}}{\sqrt{2}}}$$ である。

次に、$Q$ を放物線 $B$ 上の任意の点とする。$B$ は $A$ を直線 $l$ に関して対称移動したものであるから、$Q$ の対称移動前の点を $Q^{\mathrm{\prime }}\in A$ とおくと $$\mathrm{dist}(Q,l)=\mathrm{dist}(Q^{\mathrm{\prime }},l)$$ である。したがって $$\mathrm{dist}(Q,l)\geqq {\displaystyle \frac{c-{\displaystyle \frac{1}{4}}}{\sqrt{2}}}$$ である。

一方、$P\in A$、$Q\in B$ は直線 $l$ をはさんで反対側にある。よって線分 $PQ$ の長さは、少なくとも2点の $l$ からの距離の和以上である。したがって$$PQ\geqq {\displaystyle \frac{c-{\displaystyle \frac{1}{4}}}{\sqrt{2}}}+{\displaystyle \frac{c-{\displaystyle \frac{1}{4}}}{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}(c-{\displaystyle \frac{1}{4}})$$である。

等号が実現することを確認する。$A$ 上で $l$ からの距離を最小にする点は $$P_0=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{4}})$$ である。この点を直線 $l$ に関して対称移動した点を $Q_0$ とすれば、$Q_0$ は $B$ 上にあり、線分 $P_0{Q}_0$ は $l$ に垂直で、その長さは $P_0$ から $l$ までの距離の2倍である。よって$$P_0{Q}_0=2\cdot {\displaystyle \frac{c-{\displaystyle \frac{1}{4}}}{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}(c-{\displaystyle \frac{1}{4}})$$である。

したがって求める最小値は $\sqrt{2}(c-{\displaystyle \frac{1}{4}})$ である。

直線 $l$ に平行・垂直な正規直交座標へ回転する。垂直座標は $A$ 上で平方完成でき、常に一定値以上になる。反射でその符号だけが反転するため、2曲線間の距離の下限と等号点を座標差から直接求める。

直線 $l:y=x-c$ に平行・垂直な正規直交座標を$$u={\displaystyle \frac{x+y+c}{\sqrt{2}}},v={\displaystyle \frac{y-x+c}{\sqrt{2}}}$$と置く。直線 $l$ は $v=0$ であり、$v$ は $l$ からの符号付き距離である。

放物線 $A$ 上では $y=x^2$ だから$$v={\displaystyle \frac{x^2-x+c}{\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2+c-{\displaystyle \frac{1}{4}}}{\sqrt{2}}}\geqq {\displaystyle \frac{c-{\displaystyle \frac{1}{4}}}{\sqrt{2}}}\mathrm{.}$$$c>1\mathrm{/}4$ より $A$ は $v>0$ 側にある。反射によって $u$ は変わらず $v$ の符号だけが反転するので、放物線 $B$ は$$v\leqq -{\displaystyle \frac{c-{\displaystyle \frac{1}{4}}}{\sqrt{2}}}$$の側にある。

従って $P\in A,Q\in B$ に対し、2点の $v$ 座標の差だけを見ても$$PQ\geqq \mathrm{\mid }{v}_P-v_Q\mathrm{\mid }\geqq {\displaystyle \frac{2(c-{\displaystyle \frac{1}{4}})}{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}(c-{\displaystyle \frac{1}{4}})\mathrm{.}$$$x=1\mathrm{/}2$ に対応する $A$ 上の点と、その $l$ に関する鏡像を選べば、両点の $u$ 座標は等しく、上の2つの不等式で等号が成り立つ。よって最小値は$$\sqrt{2}(c-{\displaystyle \frac{1}{4}})$$である。