東京大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

円板 $A,B$ が異なる平面にあり、両平面の共通部分は $x$ 軸である。従って共有点は$$P=(t,0,0),-1\leqq t\leqq 1$$と書ける。$x$ 軸について対称なので $t\geqq 0$ としてよい。

平面内で中心 $C=(a,b)$、半径 $r$ の円板が原点中心の単位円板に含まれる条件は$$\sqrt{a^2+b^2}+r\leqq 1$$である。さらに $P=(t,0)$ が円周上だから$$(t-a{)}^2+b^2=r^2\mathrm{.}$$2式で等号が成り立つ場合が半径最大であり、消去すると$$\sqrt{a^2+b^2}=at+{\displaystyle \frac{1-t^2}{2}},r={\displaystyle \frac{1+t^2}{2}}-at\mathrm{.}$$この円板と $x$ 軸の共通部分の両端は $t$ と $2a-t$ である。2つの円板の共通部分が $P$ だけになるには、2つの区間が $P$ から反対向きへ伸びるか、一方が $P$ で接しなければならない。

$a<t$ の側では半径の最大は中心が $x$ 軸上で反対側へ寄るときに起こり$$r_1\leqq {\displaystyle \frac{1+t}{2}}\mathrm{.}$$$a\geqq t$ の側では上の $r$ は $a$ とともに減少するので$$r_2\leqq r{\mid }_{a=t}={\displaystyle \frac{1-t^2}{2}}\mathrm{.}$$従って$$\begin{array}{rl}{\displaystyle r_1+r_2}& {\displaystyle \leqq {\displaystyle \frac{1+t}{2}}+{\displaystyle \frac{1-t^2}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{9}{8}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}{(t-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2\leqq {\displaystyle \frac{9}{8}}\mathrm{.}}\end{array}$$$P=(1\mathrm{/}2,0,0)$ とし、$xy$ 平面の円板を中心 $(-1\mathrm{/}4,0,0)$、半径 $3\mathrm{/}4$、$xz$ 平面の円板を中心 $(1\mathrm{/}2,0,3\mathrm{/}8)$、半径 $3\mathrm{/}8$ とすれば等号を実現する。従って最大値は$${\displaystyle \frac{9}{8}}$$である。

円板中心を $C$、$P$ から中心と反対向きの単位ベクトルを $\vec{u}$ と置く。包含条件 $\mathrm{\mid }OC\mathrm{\mid }+r\leqq 1$ を2乗して、半径の上限を $\vec{u}$ の $x$ 成分で表す。2つの円板ではその成分の符号が反対になることを使い、1変数の二次式を最大化する。

共有点は2平面の共通部分である $x$ 軸上にあるから$$P=(t,0,0),-1\leqq t\leqq 1$$と置ける。対称性により $t\geqq 0$ としてよい。

一方の円板を含む平面内で、その中心を $C$、半径を $r$ とする。円板が原点中心の単位円板に含まれるための必要十分条件は$$OC+r\leqq 1$$である。また $P$ は円周上なので $CP=r$ である。

$P$ から中心と反対向きの単位ベクトルを $\vec{u}=(a,b)$ と置くと$$\overrightarrow{OC}=(t,0)-r\vec{u}\mathrm{.}$$包含条件を2乗すると$$t^2-2rta+r^2\leqq (1-r{)}^2$$だから$$r\leqq {\displaystyle \frac{1-t^2}{2(1-ta)}}\mathrm{.}$$円板と $x$ 軸との共通部分は $P$ を端点とする区間、または $P$ だけである。2円板が $P$ 以外を共有しないためには、一方の区間は $P$ から左へ、他方は右へ伸びるか、少なくとも一方が $P$ で $x$ 軸に接しなければならない。

左へ伸びる円板では $a\geqq 0$ であり、上式の最大は $a=1$ のとき$$r_{\mathrm{L}}\leqq {\displaystyle \frac{1-t^2}{2(1-t)}}={\displaystyle \frac{1+t}{2}}\mathrm{.}$$右へ伸びる円板または接する円板では $a\leqq 0$ なので$$r_{\mathrm{R}}\leqq {\displaystyle \frac{1-t^2}{2}}\mathrm{.}$$従って半径の和は$$r_{\mathrm{L}}+r_{\mathrm{R}}\leqq {\displaystyle \frac{1+t}{2}}+{\displaystyle \frac{1-t^2}{2}}={\displaystyle \frac{9}{8}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}{(t-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2\leqq {\displaystyle \frac{9}{8}}\mathrm{.}$$$t=1\mathrm{/}2$ のとき、左側の円板を中心 $(-1\mathrm{/}4,0)$、半径 $3\mathrm{/}4$、もう一方を中心 $(1\mathrm{/}2,3\mathrm{/}8)$、半径 $3\mathrm{/}8$ とすれば、いずれも単位円板内に収まり、$x$ 軸上の共通部分は $P$ だけである。元の互いに垂直な平面へ戻せば条件を満たす。従って最大値は$${\displaystyle \frac{9}{8}}$$である。