東京大学 2000年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $k=1$ のとき$$P_1(x)-P_1(x-1)=1,P_1(0)=0$$より$$P_1(x)=x\mathrm{.}$$$k=2$ では $P_2(x)=a{x}^2+bx$ とおくと$$P_2(x)-P_2(x-1)=2ax-a+b=x\mathrm{.}$$係数比較により $a=b=1\mathrm{/}2$ だから$$P_2(x)={\displaystyle \frac{x(x+1)}{2}}\mathrm{.}$$(2) 多項式に作用する差分を$$\mathrm{\Delta }F(x)=F(x)-F(x-1)$$と書く。$j\geqq 1$ に対して$$\mathrm{\Delta }{x}^j=j{x}^{j-1}+\text{次数が }j-2\text{ 以下の多項式}$$である。従って、$x^k,x^{k-1},\dots ,x$ の係数を高次から順に選べば$$\mathrm{\Delta }{P}_k(x)=x^{k-1}$$を満たす $k$ 次多項式を作れる。最後に定数項を選んで $P_k(0)=0$ とすれば存在が示される。

また二つの解の差を $H$ とすると$$\mathrm{\Delta }H=0.$$非定数多項式 $H$ なら $\mathrm{\Delta }H$ の次数は $\mathrm{deg}H-1$ で0にはならない。従って $H$ は定数であり、さらに $H(0)=0$ だから $H=0$ である。よって解はただ一つである。

(3) 条件を満たす多項式は$$Q_j(x)={\displaystyle \frac{x(x-1)\cdots (x-j+1)}{j!}}$$である。実際、$x=0,1,\dots ,j-1$ で0となり、$Q_j(j)=1$ である。

条件 (C) を整数 $m\geqq 1$ に順次用いると$$P_k(m)=\sum _{r=1}^m{r}^{k-1}$$となるので、$P_k(m)$ は整数である。

まず $x=1$ を代入して$$c_1=P_k(1)$$と定める。次に $m=2,3,\dots ,k$ に対して順に$$c_m=P_k(m)-\sum _{j=1}^{m-1}{c}_j{Q}_j(m)$$と定める。ここで$$Q_j(m)={\displaystyle \frac{m(m-1)\cdots (m-j+1)}{j!}}$$は整数であるから、帰納的にすべての $c_m$ は整数となる。

このように作った$$R(x)=\sum _{j=1}^k{c}_j{Q}_j(x)$$は $x=0,1,\dots ,k$ の $k+1$ 点で $P_k(x)$ と一致する。両者の次数は高々 $k$ なので恒等的に一致する。また $x=1,2,\dots ,k$ へ順に代入すれば各 $c_j$ が一意に決まる。従って整数 $c_1,\dots ,c_k$ はそれぞれただ一つ存在する。

(1) は直接計算する。(2)は整数点で累積和を定め、0から $k$ までの補間多項式を作る。差分の根の個数から条件(C)を恒等的に示す。(3)はNewton補間の差分係数が整数であることを使う。

(1)
$P_1(x)=x$ は条件を満たす。$P_2(x)=A{x}^2+Bx$ とおけば$$P_2(x)-P_2(x-1)=2Ax-A+B=x$$なので $A=B=1\mathrm{/}2$。したがって$$P_2(x)={\displaystyle \frac{x(x+1)}{2}}\mathrm{.}$$(2)
整数 $m=0,1,\dots ,k$ に対し$$S(0)=0,S(m)=\sum _{r=1}^m{r}^{k-1}$$と定める。この $k+1$ 個の点 $(m,S(m))$ を通る次数 $k$ 以下の補間多項式を
$P(x)$ とする。$$D(x)=P(x)-P(x-1)-x^{k-1}$$は次数 $k-1$ 以下であり、$m=1,\dots ,k$ では$$D(m)=S(m)-S(m-1)-m^{k-1}=0.$$次数以下の多項式が $k$ 個の相異なる根をもつので $D(x)\equiv 0$。
また $P(0)=0$ であり、差が $x^{k-1}$ だから $P$ の次数は実際に $k$ である。
これで存在が示された。
2解の差 $H$ は $H(x)=H(x-1)$ を満たす。非定数なら左辺の差の次数は
$\mathrm{deg}H-1$ となって0ではないため、$H$ は定数である。$H(0)=0$ より一意である。

(3) $$Q_j(x)={\displaystyle \frac{x(x-1)\cdots (x-j+1)}{j!}}$$は条件を満たす。Newton補間公式により、$P_k(0)=0$ を使えば$$P_k(x)=\sum _{j=1}^k{c}_j{Q}_j(x),c_j={\mathrm{\Delta }}^j{P}_k(0),$$ただし $\mathrm{\Delta }F(m)=F(m+1)-F(m)$ である。
整数点では$$P_k(m)=\sum _{r=1}^m{r}^{k-1}\in \mathbb{Z}$$だから、その有限差分 $c_j$ もすべて整数である。
また $Q_j(m)=0(m<j)$、$Q_j(j)=1$ なので、
$x=1,2,\dots ,k$ を順に代入すれば各 $c_j$ は一意に定まる。