東京大学 2002年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=e^{-x^3}(1-3x^3),f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=3x^2{e}^{-x^3}(3x^3-4)\mathrm{.}$$$\alpha =3^{-1\mathrm{/}3}$、$\beta =(4\mathrm{/}3{)}^{1\mathrm{/}3}$ とおく。指数因子は常に正なので、$f$ は $(-\mathrm{\infty },\alpha )$ で増加し、$(\alpha ,\mathrm{\infty })$ で減少する。また $\beta$ の前で上に凸、後で下に凸であり、$x=\beta$ が変曲点である。なお $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=0$ だが、その前後で符号は変わらない。$$f(0)=0,f(\alpha )=3^{-1\mathrm{/}3}{e}^{-1\mathrm{/}3},$$$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty },\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=0.$$したがって概形は次のようになる。

(2) 円板法より$$V_1(C)=\pi {\int }_0^C{x}^2{e}^{-2x^3}dx\mathrm{.}$$$u=x^3$ とおけば $du=3x^{2}dx$ だから$$\underset{C\to \mathrm{\infty }}{\lim }{V}_1(C)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-2u}du={\displaystyle \frac{\pi }{6}}\mathrm{.}$$(3) (1)より $M=\alpha e^{-1\mathrm{/}3}$ である。領域は $0\leqq x\leqq \alpha$ で $f(x)\leqq y\leqq M$ と表される。円筒殻法より$$V_2=2\pi {\int }_0^{\alpha }x\{M-x{e}^{-x^3}\}dx\mathrm{.}$$ここで ${\alpha }^3=1\mathrm{/}3$ を用いると$${\int }_0^{\alpha }xMdx={\displaystyle \frac{M{\alpha }^2}{2}}={\displaystyle \frac{e^{-1\mathrm{/}3}}{6}},$$$${\int }_0^{\alpha }{x}^2{e}^{-x^3}dx={\displaystyle \frac{1}{3}}{\int }_0^{1\mathrm{/}3}{e}^{-u}du={\displaystyle \frac{1}{3}}(1-e^{-1\mathrm{/}3})\mathrm{.}$$よって$$V_2=2\pi \{{\displaystyle \frac{e^{-1\mathrm{/}3}}{6}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}(1-e^{-1\mathrm{/}3})\}=\pi (e^{-1\mathrm{/}3}-{\displaystyle \frac{2}{3}})\mathrm{.}$$$f(x)=x{e}^{-x^3}$ の概形

増減と凹凸は導関数の零点を直接調べる。第3問の回転体は水平な円板で表し、変数を $y=f(x)$ から $x$ へ戻して部分積分する。

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=e^{-x^3}(1-3x^3),f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=3x^2{e}^{-x^3}(3x^3-4)\mathrm{.}$$$\alpha =3^{-1\mathrm{/}3}$、$\beta =(4\mathrm{/}3{)}^{1\mathrm{/}3}$ とすると、$\alpha$ の前で増加、後で減少し、$\beta$ の前で上に凸、後で下に凸である。最大値は$$M=f(\alpha )=3^{-1\mathrm{/}3}{e}^{-1\mathrm{/}3}\mathrm{.}$$(2)$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{C\to \mathrm{\infty }}{\lim }{V}_1(C)}& {\displaystyle =\pi {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^2{e}^{-2x^3}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-2u}du={\displaystyle \frac{\pi }{6}}\mathrm{.}}\end{array}$$(3)
高さ $y$ の円板の半径を $x$ とすると $y=f(x)$ であり、$$V_2=\pi {\int }_0^{M}x(y{)}^{2}dy=\pi {\int }_0^{\alpha }{x}^2{f}^{\mathrm{\prime }}(x)dx\mathrm{.}$$部分積分により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V_2}& {\displaystyle =\pi \{[x^{2}f(x){]}_0^{\alpha }-2{\int }_0^{\alpha }xf(x)dx\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi \{{\displaystyle \frac{e^{-1\mathrm{/}3}}{3}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}(1-e^{-1\mathrm{/}3})\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi (e^{-1\mathrm{/}3}-{\displaystyle \frac{2}{3}})\mathrm{.}}\end{array}$$